Πόσο χαμηλά έπεσα

KARKAR · #1

: Πόσο χαμηλά έπεσα.png (9.85 KiB) Προβλήθηκε 822 φορές

Σε σημείο

- του πρώτου τεταρτημορίου - της παραβολής με εξίσωση : y=x^2+1

φέρουμε κάθετη

στην εφαπτομένη , η οποία ξανατέμνει την καμπύλη στο σημείο

. Βρείτε την "χαμηλότερη" θέση του

.

Όσο λιγότερη ανάλυση χρησιμοποιήσετε , τόσο το καλύτερο

#2

Δίχως Ανάλυση.

Μετακινώ την παραβολή κατά μία μονάδα προς τα κάτω.

: 21-3-2019 Ανάλυση.png (29.82 KiB) Προβλήθηκε 788 φορές

Έχει εξίσωση x^2=y

, και εφαπτομένη στο σημείο A(x_0, y_0)

του πρώτου τεταρτημορίου με εξίσωση $\displaystyle x{x_0} = \frac{1}{2}\left( {y + y{ & _0}} \right)$ .

Η κάθετη στο

έχει εξίσωση $\displaystyle y - {y_0} = - \frac{1}{{2{x_0}}}\left( {x - {x_0}} \right) \Leftrightarrow y = - \frac{1}{{2{x_0}}}x + {y_0} + \frac{1}{2}$ και την τέμνει στα σημεία

και $\displaystyle S\left( { - \frac{{2x_0^2 + 1}}{{2{x_0}}},\;{{\left( {\frac{{2x_0^2 + 1}}{{2{x_0}}}} \right)}^2}} \right)$ .

Είναι $\displaystyle \frac{{2x_0^2 + 1}}{{2{x_0}}} = {x_0} + \frac{1}{{2{x_0}}}$ με x_0>0

. Αφού οι δύο θετικοί αριθμοί έχουν σταθερό γινόμενο, θα έχουν ελάχιστο άθροισμα όταν είναι ίσοι (αν μπορούν να γίνουν ίσοι),

οπότε έχουμε το ελάχιστο άθροισμα όταν $\displaystyle {x_0} = \frac{{\sqrt 2 }}{2}$ , το οποίο είναι ίσο με

.

Άρα στην αρχική παραβολή έχουμε ελάχιστο y_S =3

.

#3

KARKAR έγραψε: ↑
Πέμ Μαρ 21, 2019 12:34 pm

Όσο λιγότερη ανάλυση χρησιμοποιήσετε , τόσο το καλύτερο

Δεν καταλαβαίνω γιατί μια άσκηση μπαίνει σε φάκελο Ανάλυσης με την οδηγία να χρησιμοποιηθεί λιγότερη Ανάλυση

KARKAR · #4

Γιώργο , εξηγώ : Η εύρεση ακροτάτων χωρίς χρήση διαφορικού λογισμού , είναι ένα πολύ ελκυστικό

πεδίο των Μαθηματικών ( σίγουρα για μένα ) . Στο συγκεκριμένο θέμα , η κλίση της εφαπτομένης στο

,

είναι το μόνο σημείο , στο οποίο σχεδόν αναγκαστικά καταφεύγουμε στην παράγωγο . Όμως η εύρεση

του χαμηλότερου σημείου

, μπορεί - και θα ήθελα ως θεματοδότης - να βρεθεί χωρίς παράγωγο .

Βέβαια ο Γιώργος εξαφάνισε την Ανάλυση , αλλά τη μεταφορά ίσως δεν θα την σκέφτονταν πολλοί .

Προφανώς λύση με παράγωγο είναι αποδεκτή , ας δώσουμε όμως χώρο π.χ σε μία ανισότητα ΑΜ -ΓΜ ...

#5

Σχετική

#6

Για την κλίση της εφαπτομένης χωρίς παράγωγο. Έστω y=ax+b

η εξίσωση της εφαπτομένης στο

Τότε η εξίσωση $\displaystyle {x^2} + 1 = ax + b \Leftrightarrow {x^2} - ax + 1 - b = 0$ θα έχει διπλή ρίζα $\displaystyle {x_0} = \frac{a}{2} \Leftrightarrow$ $\boxed{a=2x_0}$

Πόσο χαμηλά έπεσα

Πόσο χαμηλά έπεσα

Re: Πόσο χαμηλά έπεσα

Re: Πόσο χαμηλά έπεσα

Re: Πόσο χαμηλά έπεσα

Re: Πόσο χαμηλά έπεσα

Re: Πόσο χαμηλά έπεσα

Μέλη σε σύνδεση