Πόσο χαμηλά έπεσα

Συντονιστής: KAKABASBASILEIOS

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 10677
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Πόσο χαμηλά έπεσα

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Πέμ Μαρ 21, 2019 12:34 pm

Πόσο χαμηλά  έπεσα.png
Πόσο χαμηλά έπεσα.png (9.85 KiB) Προβλήθηκε 478 φορές
Σε σημείο A - του πρώτου τεταρτημορίου - της παραβολής με εξίσωση : y=x^2+1 φέρουμε κάθετη

στην εφαπτομένη , η οποία ξανατέμνει την καμπύλη στο σημείο S . Βρείτε την "χαμηλότερη" θέση του S .

Όσο λιγότερη ανάλυση χρησιμοποιήσετε , τόσο το καλύτερο :idea:



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Γιώργος Ρίζος
Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 4365
Εγγραφή: Δευ Δεκ 29, 2008 1:18 pm
Τοποθεσία: Κέρκυρα

Re: Πόσο χαμηλά έπεσα

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Ρίζος » Πέμ Μαρ 21, 2019 3:10 pm

Δίχως Ανάλυση.


Μετακινώ την παραβολή κατά μία μονάδα προς τα κάτω.


21-3-2019 Ανάλυση.png
21-3-2019 Ανάλυση.png (29.82 KiB) Προβλήθηκε 444 φορές

Έχει εξίσωση x^2=y, και εφαπτομένη στο σημείο A(x_0, y_0) του πρώτου τεταρτημορίου με εξίσωση  \displaystyle x{x_0} = \frac{1}{2}\left( {y + y{ & _0}} \right) .

Η κάθετη στο A έχει εξίσωση  \displaystyle y - {y_0} =  - \frac{1}{{2{x_0}}}\left( {x - {x_0}} \right) \Leftrightarrow y =  - \frac{1}{{2{x_0}}}x + {y_0} + \frac{1}{2} και την τέμνει στα σημεία A και  \displaystyle S\left( { - \frac{{2x_0^2 + 1}}{{2{x_0}}},\;{{\left( {\frac{{2x_0^2 + 1}}{{2{x_0}}}} \right)}^2}} \right) .

Είναι  \displaystyle \frac{{2x_0^2 + 1}}{{2{x_0}}} = {x_0} + \frac{1}{{2{x_0}}} με x_0>0. Αφού οι δύο θετικοί αριθμοί έχουν σταθερό γινόμενο, θα έχουν ελάχιστο άθροισμα όταν είναι ίσοι (αν μπορούν να γίνουν ίσοι),

οπότε έχουμε το ελάχιστο άθροισμα όταν  \displaystyle {x_0} = \frac{{\sqrt 2 }}{2} , το οποίο είναι ίσο με 2.

Άρα στην αρχική παραβολή έχουμε ελάχιστο y_S =3.


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 8205
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Πόσο χαμηλά έπεσα

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Πέμ Μαρ 21, 2019 4:51 pm

KARKAR έγραψε:
Πέμ Μαρ 21, 2019 12:34 pm

Όσο λιγότερη ανάλυση χρησιμοποιήσετε , τόσο το καλύτερο :idea:
Δεν καταλαβαίνω γιατί μια άσκηση μπαίνει σε φάκελο Ανάλυσης με την οδηγία να χρησιμοποιηθεί λιγότερη Ανάλυση :?


Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 10677
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Re: Πόσο χαμηλά έπεσα

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Πέμ Μαρ 21, 2019 7:33 pm

Γιώργο , εξηγώ : Η εύρεση ακροτάτων χωρίς χρήση διαφορικού λογισμού , είναι ένα πολύ ελκυστικό

πεδίο των Μαθηματικών ( σίγουρα για μένα ) . Στο συγκεκριμένο θέμα , η κλίση της εφαπτομένης στο A ,

είναι το μόνο σημείο , στο οποίο σχεδόν αναγκαστικά καταφεύγουμε στην παράγωγο . Όμως η εύρεση

του χαμηλότερου σημείου S , μπορεί - και θα ήθελα ως θεματοδότης - να βρεθεί χωρίς παράγωγο .

Βέβαια ο Γιώργος εξαφάνισε την Ανάλυση , αλλά τη μεταφορά ίσως δεν θα την σκέφτονταν πολλοί .

Προφανώς λύση με παράγωγο είναι αποδεκτή , ας δώσουμε όμως χώρο π.χ σε μία ανισότητα ΑΜ -ΓΜ ...


Άβαταρ μέλους
exdx
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1406
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 6:00 pm
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης
Επικοινωνία:

Re: Πόσο χαμηλά έπεσα

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από exdx » Παρ Μαρ 22, 2019 9:54 am



Kαλαθάκης Γιώργης
Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 8205
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Πόσο χαμηλά έπεσα

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Παρ Μαρ 22, 2019 10:40 am

Για την κλίση της εφαπτομένης χωρίς παράγωγο. Έστω y=ax+b η εξίσωση της εφαπτομένης στο A.

Τότε η εξίσωση \displaystyle {x^2} + 1 = ax + b \Leftrightarrow {x^2} - ax + 1 - b = 0 θα έχει διπλή ρίζα \displaystyle {x_0} = \frac{a}{2} \Leftrightarrow \boxed{a=2x_0}


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης