Με απλά υλικά (21)

Συντονιστής: KAKABASBASILEIOS

Άβαταρ μέλους
exdx
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1406
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 6:00 pm
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης
Επικοινωνία:

Με απλά υλικά (21)

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από exdx » Τρί Μαρ 19, 2019 9:54 pm

Από ένα φύλλο λαμαρίνας διαστάσεων \displaystyle 2mx2m θα κατασκευαστεί ένα κουτί με καπάκι . Αποκόπτουμε δύο τετράγωνα και δυο ορθογώνια όπως στο σχήμα και συγκολλούμε τις ακμές . Ποιος είναι ο μέγιστος όγκος του κουτιού ;
Συνημμένα
box.png
box.png (2.11 KiB) Προβλήθηκε 238 φορές


Kαλαθάκης Γιώργης

Λέξεις Κλειδιά:
fmak65
Δημοσιεύσεις: 637
Εγγραφή: Κυρ Μαρ 01, 2009 6:59 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονικη

Re: Με απλά υλικά (21)

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από fmak65 » Τετ Μαρ 20, 2019 9:19 am

Αν είναι x, y είναι οι διαστάσεις της βάσης και z η διάσταση του ύψους, από το σχέδιο βλέπουμε ότι ισχύει
2x+2y=2\Rightarrow 2y=2-2x\Rightarrow y=1-x και 2x+z=2\Rightarrow z=2-2x.
Οι τιμές τις οποίες μπορεί να πάρουν τα x,y,z είναι θετικές (επειδή είναι μήκη πλευρών) και επειδή η πλευρά της λαμαρίνας είναι 2 προφανώς μικρότερος του 2.
Άρα ισχύει 0< z< 2\Rightarrow 0< 2-2x< 2\Rightarrow -2< -2x< 2-2\Rightarrow -2< -2x< 0\Rightarrow 1> x> 0.
0<y<2\Rightarrow 0<1-x<2\Rightarrow -1<-x<1\Rightarrow 1>x>-1
Άρα για το x ισχύει 0< x <1
Ο όγκος του ορθογωνίου παραλληλογράμμου που θέλουμε να μεγιστοποιήσουμε είναι x*y*z=x*(1-x)*(2-2x)=2x^{3}-4x^{2}+2x.
Για να να βρούμε που μεγιστοποιήται, θα πρέπει να βρούμε την παράγωγο του όγκου και να βρούμε που μηδενίζεται και να βρούμε που είναι το τοπικό μέγιστο.
Η παράγωγος του όγκου είναι 6x^{2}-8x+2, και η οποία μηδενίζεται για x=1 (απορρίπτεται) & x=\frac{1}{3}.
Αν κάνουμε τον πίνακα προσήμων και μονοτονίας της συνάρτησης , βρίσκουμε ότι για x=\frac{1}{3} έχουμε το ζητούμενο μέγιστο.
Οπότε οι διαστάσεις του ζητούμενου κουτιού είναι x=\frac{1}{3}, y=\frac{2}{3}, z=\frac{4}{3} και ο ζητούμενος όγκος είναι \frac{8}{27}m^{3}.
(Η επεξεργασία έγινε λόγω π.μ. από τον exdx γιατί δεν έγραψα τους περιορισμούς).


Μαραντιδης Φωτης
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης