Με απλά υλικά (21)
Συντονιστής: KAKABASBASILEIOS
- exdx
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 1742
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 6:00 pm
- Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης
- Επικοινωνία:
Με απλά υλικά (21)
Από ένα φύλλο λαμαρίνας διαστάσεων θα κατασκευαστεί ένα κουτί με καπάκι . Αποκόπτουμε δύο τετράγωνα και δυο ορθογώνια όπως στο σχήμα και συγκολλούμε τις ακμές . Ποιος είναι ο μέγιστος όγκος του κουτιού ;
- Συνημμένα
-
- box.png (2.11 KiB) Προβλήθηκε 754 φορές
Kαλαθάκης Γιώργης
Λέξεις Κλειδιά:
Re: Με απλά υλικά (21)
Αν είναι x, y είναι οι διαστάσεις της βάσης και z η διάσταση του ύψους, από το σχέδιο βλέπουμε ότι ισχύει
και .
Οι τιμές τις οποίες μπορεί να πάρουν τα x,y,z είναι θετικές (επειδή είναι μήκη πλευρών) και επειδή η πλευρά της λαμαρίνας είναι 2 προφανώς μικρότερος του 2.
Άρα ισχύει
Άρα για το x ισχύει
Ο όγκος του ορθογωνίου παραλληλογράμμου που θέλουμε να μεγιστοποιήσουμε είναι .
Για να να βρούμε που μεγιστοποιήται, θα πρέπει να βρούμε την παράγωγο του όγκου και να βρούμε που μηδενίζεται και να βρούμε που είναι το τοπικό μέγιστο.
Η παράγωγος του όγκου είναι , και η οποία μηδενίζεται για x=1 (απορρίπτεται) & .
Αν κάνουμε τον πίνακα προσήμων και μονοτονίας της συνάρτησης , βρίσκουμε ότι για έχουμε το ζητούμενο μέγιστο.
Οπότε οι διαστάσεις του ζητούμενου κουτιού είναι , , και ο ζητούμενος όγκος είναι
(Η επεξεργασία έγινε λόγω π.μ. από τον exdx γιατί δεν έγραψα τους περιορισμούς).
και .
Οι τιμές τις οποίες μπορεί να πάρουν τα x,y,z είναι θετικές (επειδή είναι μήκη πλευρών) και επειδή η πλευρά της λαμαρίνας είναι 2 προφανώς μικρότερος του 2.
Άρα ισχύει
Άρα για το x ισχύει
Ο όγκος του ορθογωνίου παραλληλογράμμου που θέλουμε να μεγιστοποιήσουμε είναι .
Για να να βρούμε που μεγιστοποιήται, θα πρέπει να βρούμε την παράγωγο του όγκου και να βρούμε που μηδενίζεται και να βρούμε που είναι το τοπικό μέγιστο.
Η παράγωγος του όγκου είναι , και η οποία μηδενίζεται για x=1 (απορρίπτεται) & .
Αν κάνουμε τον πίνακα προσήμων και μονοτονίας της συνάρτησης , βρίσκουμε ότι για έχουμε το ζητούμενο μέγιστο.
Οπότε οι διαστάσεις του ζητούμενου κουτιού είναι , , και ο ζητούμενος όγκος είναι
(Η επεξεργασία έγινε λόγω π.μ. από τον exdx γιατί δεν έγραψα τους περιορισμούς).
Μαραντιδης Φωτης
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 3 επισκέπτες