Ελάχιστο εμβαδόν

Συντονιστής: KAKABASBASILEIOS

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 10587
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Ελάχιστο εμβαδόν

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Τρί Μαρ 19, 2019 7:21 pm

Ελάχιστο  εμβαδόν.png
Ελάχιστο εμβαδόν.png (75.09 KiB) Προβλήθηκε 183 φορές
Από σημείο A του πρώτου τεταρτημορίου , της καμπύλης με εξίσωση f(x)=e^{x^2} , φέρουμε εφαπτομένη

και κάθετη στον x'x , σχηματίζοντας το ορθογώνιο τρίγωνο AOS . Δείξτε ότι το ελάχιστο εμβαδόν αυτού

του τριγώνου επιτυγχάνεται , όταν πράγματι η εφαπτομένη διέρχεται από την αρχή των αξόνων .



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Γιώργος Ρίζος
Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 4348
Εγγραφή: Δευ Δεκ 29, 2008 1:18 pm
Τοποθεσία: Κέρκυρα

Re: Ελάχιστο εμβαδόν

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Ρίζος » Τρί Μαρ 19, 2019 8:14 pm

Έστω  \displaystyle A\left( {a,\;{e^{{a^2}}}} \right),\;a > 0 το σημείο.

Η συνάρτηση  \displaystyle f\left( x \right) = {e^{{x^2}}} είναι παραγωγίσιμη με  \displaystyle f'\left( x \right) = 2x{e^{{x^2}}} .

Η εξίσωση της εφαπτομένης της C_f στο A είναι  \displaystyle y - {e^{{a^2}}} = 2a{e^{{a^2}}}\left( {x - a} \right) .

Τέμνει τον x΄x στο  \displaystyle B\left( {\frac{{2{a^2} - 1}}{{2a}},\;0} \right) . Έστω S(a, 0) η προβολή του A στον x΄x .

Οπότε  \displaystyle \left( {OAS} \right) = \frac{{{e^{{a^2}}} \cdot \left| {a - \frac{{2{a^2} - 1}}{{2a}}} \right|}}{2} = \frac{{{e^{{a^2}}}}}{{4a}} .

Η συνάρτηση  \displaystyle g\left( x \right) = \frac{{{e^{{x^2}}}}}{{4x}},\;x > 0 έχει παράγωγο  \displaystyle g\left( x \right) = \frac{{4\left( {2{x^2} - 1} \right){e^{{x^2}}}}}{{4x}},\;x > 0 , που παρουσιάζει ελάχιστο όταν  \displaystyle x = \frac{{\sqrt 2 }}{2} .

Για την τιμή αυτή είναι  \displaystyle B\left( {0,0} \right) .


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 3 επισκέπτες