Ύπαρξη μοναδικού ρ

Συντονιστής: KAKABASBASILEIOS

Soniram89
Δημοσιεύσεις: 62
Εγγραφή: Δευ Απρ 09, 2018 8:48 pm

Ύπαρξη μοναδικού ρ

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Soniram89 » Τρί Μαρ 19, 2019 1:09 pm

Μάλλον είναι εύκολη, αλλά για κάποιο λόγο έχω κολλήσει...

f(x)=1+x+\frac{2}{1+e^{x}}

Να δείξετε ότι υπάρχει μοναδικό \rho \epsilon \mathbb{R} : f(\rho )=0 και f(-\rho )=4

Ευχαριστώ πολύ!!!



Λέξεις Κλειδιά:
ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 2510
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Ύπαρξη μοναδικού ρ

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Τρί Μαρ 19, 2019 2:02 pm

Soniram89 έγραψε:
Τρί Μαρ 19, 2019 1:09 pm
Μάλλον είναι εύκολη, αλλά για κάποιο λόγο έχω κολλήσει...

f(x)=1+x+\frac{2}{1+e^{x}}

Να δείξετε ότι υπάρχει μοναδικό \rho \epsilon \mathbb{R} : f(\rho )=0 και f(-\rho )=4

Ευχαριστώ πολύ!!!
Δείξε πρώτα ότι
υπάρχει μοναδικό \rho \epsilon \mathbb{R} : f(\rho )=0
(εύκολο)
μετά προσπάθησε να αποδείξεις ότι f(-\rho )=4


Soniram89
Δημοσιεύσεις: 62
Εγγραφή: Δευ Απρ 09, 2018 8:48 pm

Re: Ύπαρξη μοναδικού ρ

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Soniram89 » Τρί Μαρ 19, 2019 2:17 pm

Εύκολα δείχνουμε: f(\mathbb{R})=\mathbb{R} αφού 0\epsilon \mathbb{R}\Rightarrow \exists \rho \epsilon \mathbb{R}:f(\rho )=0, επίσης f'(x)>0 \forall x\epsilon \mathbb{R}\Rightarrow f γν. αύξουσα \Rightarrow \rho μοναδικό.

Μετά προσπαθώ να αποδείξω f(-\rho )=4 χρησιμοποιώντας : 1+\rho +\frac{2}{1+e^{\rho }}=0 αλλά ότι πράξεις και να κάνω δεν μπορώ να καταλήξω σε κάποιο συμπέρασμα.


Άβαταρ μέλους
exdx
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1406
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 6:00 pm
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης
Επικοινωνία:

Re: Ύπαρξη μοναδικού ρ

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από exdx » Τρί Μαρ 19, 2019 2:25 pm

Να δείξετε ότι υπάρχει μοναδικό \rho \epsilon \mathbb{R} : f(\rho )=0 και f(-\rho )=4

Αυτό συμβαίνει διότι η γραφική παράσταση έχει
κέντρο συμμετρίας το \displaystyle A(0,2)


Kαλαθάκης Γιώργης
ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 2510
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Ύπαρξη μοναδικού ρ

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Τρί Μαρ 19, 2019 2:33 pm

Soniram89 έγραψε:
Τρί Μαρ 19, 2019 2:17 pm
Εύκολα δείχνουμε: f(\mathbb{R})=\mathbb{R} αφού 0\epsilon \mathbb{R}\Rightarrow \exists \rho \epsilon \mathbb{R}:f(\rho )=0, επίσης f'(x)>0 \forall x\epsilon \mathbb{R}\Rightarrow f γν. αύξουσα \Rightarrow \rho μοναδικό.

Μετά προσπαθώ να αποδείξω f(-\rho )=4 χρησιμοποιώντας : 1+\rho +\frac{2}{1+e^{\rho }}=0 αλλά ότι πράξεις και να κάνω δεν μπορώ να καταλήξω σε κάποιο συμπέρασμα.
Για το \rho που ικανοποιεί την 1+\rho +\frac{2}{1+e^{\rho }}=0
πρέπει να δείξεις ότι 1-\rho +\frac{2}{1+e^{-\rho }}=4
Υπολόγισε από την πρώτη το e^{\rho } σαν συνάρτηση του \rho και αντικατέστησε στην δεύτερη.
Θα δεις ότι ισχύει.Μερικές πράξεις είναι.


Soniram89
Δημοσιεύσεις: 62
Εγγραφή: Δευ Απρ 09, 2018 8:48 pm

Re: Ύπαρξη μοναδικού ρ

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Soniram89 » Τρί Μαρ 19, 2019 3:17 pm

Πολύ σωστά κ.Παπαδόπουλε!!! Ξαφνιάστηκα που δεν μου βγήκαν αμέσως οι πράξεις και έψαχνα θεωρητική λύση. Όπως αυτή του exdx. Φυσικά δεν θα το παρατηρούσα ποτέ το κέντρο συμμετρίας. Ευχαριστω πολύ για τη βοήθεια.


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 4 επισκέπτες