Από γαλλικές εξετάσεις...

Συντονιστής: KAKABASBASILEIOS

Άβαταρ μέλους
M.S.Vovos
Δημοσιεύσεις: 875
Εγγραφή: Παρ Φεβ 27, 2015 5:45 pm

Από γαλλικές εξετάσεις...

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από M.S.Vovos » Κυρ Μαρ 17, 2019 2:23 pm

Να αποδείξετε ότι για κάθε a\in \left ( -\infty ,-1 \right )\cup \left ( -1,1 \right ) η εξίσωση:
\displaystyle{x^{2}+\frac{x}{a^{2}-1}+\frac{1}{a-1}=0} έχει δύο πραγματικές και άνισες ρίζες.

Φιλικά,
Μάριος


Υ.Γ. Η λύση που έχω χρησιμοποιεί παραγώγους. Ίσως όμως να υπάρχει λύση και με ύλη μικρότερων τάξεων.


Είναι αυταπάτη ότι η νεότητα είναι ευτυχισμένη, μια αυταπάτη αυτών που την έχουν χάσει. W. Somerset Maugham

Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Ορέστης Λιγνός
Δημοσιεύσεις: 1454
Εγγραφή: Κυρ Μάιος 08, 2016 7:19 pm
Τοποθεσία: Χαλάνδρι Αττικής

Re: Από γαλλικές εξετάσεις...

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Ορέστης Λιγνός » Κυρ Μαρ 17, 2019 2:39 pm

M.S.Vovos έγραψε:
Κυρ Μαρ 17, 2019 2:23 pm
Να αποδείξετε ότι για κάθε a\in \left ( -\infty ,-1 \right )\cup \left ( -1,1 \right ) η εξίσωση:
\displaystyle{x^{2}+\frac{x}{a^{2}-1}+\frac{1}{a-1}=0} έχει δύο πραγματικές και άνισες ρίζες.

Φιλικά,
Μάριος


Υ.Γ. Η λύση που έχω χρησιμοποιεί παραγώγους. Ίσως όμως να υπάρχει λύση και με ύλη μικρότερων τάξεων.
Αρκεί να δείξω ότι η εξίσωση (a^2-1)x^2+x+a+1=0 για κάθε a\in \left ( -\infty ,-1 \right )\cup \left ( -1,1 \right ) έχει δύο πραγματικές και άνισες ρίζες.

Προφανώς, αφού a \neq \pm 1, μιλάμε για τριώνυμο με Διακρίνουσα \Delta=1-4(a^2-1)(a+1)=1+4(1-a)(a+1)^2>0, αφού a<1.

Άρα, \Delta>0, για κάθε a, οπότε η εξίσωση έχει δύο άνισες (πραγματικές) ρίζες.

Υ.Γ. Διόρθωση της λύσης μετά από παρατήρηση του Μάριου (δείτε πιο κάτω) τον οποίο και ευχαριστώ.
τελευταία επεξεργασία από Ορέστης Λιγνός σε Κυρ Μαρ 17, 2019 3:20 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


Κερδίζουμε ό,τι τολμούμε !
Άβαταρ μέλους
M.S.Vovos
Δημοσιεύσεις: 875
Εγγραφή: Παρ Φεβ 27, 2015 5:45 pm

Re: Από γαλλικές εξετάσεις...

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από M.S.Vovos » Κυρ Μαρ 17, 2019 3:06 pm

Ορέστης Λιγνός έγραψε:
Κυρ Μαρ 17, 2019 2:39 pm
M.S.Vovos έγραψε:
Κυρ Μαρ 17, 2019 2:23 pm
Να αποδείξετε ότι για κάθε a\in \left ( -\infty ,-1 \right )\cup \left ( -1,1 \right ) η εξίσωση:
\displaystyle{x^{2}+\frac{x}{a^{2}-1}+\frac{1}{a-1}=0} έχει δύο πραγματικές και άνισες ρίζες.

Φιλικά,
Μάριος


Υ.Γ. Η λύση που έχω χρησιμοποιεί παραγώγους. Ίσως όμως να υπάρχει λύση και με ύλη μικρότερων τάξεων.
Αρκεί να δείξω ότι η εξίσωση (a^2-1)x^2+(a+1)x+a+1=0 για κάθε a\in \left ( -\infty ,-1 \right )\cup \left ( -1,1 \right ) έχει δύο πραγματικές και άνισες ρίζες.

Προφανώς, αφού a \neq \pm 1, μιλάμε για τριώνυμο με Διακρίνουσα \Delta=(a+1)^2-4(a^2-1)(a+1)=(a-1)^2(5-4a).

Όμως, σε κάθε περίπτωση a<1, οπότε 5-4a >1>0, άρα \Delta>0, και το ζητούμενο έπεται.
Ορέστη για ξαναδές το.


Είναι αυταπάτη ότι η νεότητα είναι ευτυχισμένη, μια αυταπάτη αυτών που την έχουν χάσει. W. Somerset Maugham
Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 11267
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Από γαλλικές εξετάσεις...

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Δευ Μαρ 18, 2019 8:20 am

M.S.Vovos έγραψε:
Κυρ Μαρ 17, 2019 2:23 pm
Να αποδείξετε ότι για κάθε a\in \left ( -\infty ,-1 \right )\cup \left ( -1,1 \right ) η εξίσωση:
\displaystyle{x^{2}+\frac{x}{a^{2}-1}+\frac{1}{a-1}=0} έχει δύο πραγματικές και άνισες ρίζες.
Το p(x)= x^{2}+\frac{x}{a^{2}-1}+\frac{1}{a-1} ικανοποιεί  p(0) = \frac{1}{a-1} <0 (για τα a που δίνονται). Έπεται ότι, ως παραβολή με θετικό πρώτο συντελεστή (και άρα μορφής U), έχει ακριβώς δύο ρίζες.


Άβαταρ μέλους
rek2
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1791
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 12:13 am

Re: Από γαλλικές εξετάσεις...

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από rek2 » Δευ Μαρ 18, 2019 8:33 pm

Mihalis_Lambrou έγραψε:
Δευ Μαρ 18, 2019 8:20 am
M.S.Vovos έγραψε:
Κυρ Μαρ 17, 2019 2:23 pm
Να αποδείξετε ότι για κάθε a\in \left ( -\infty ,-1 \right )\cup \left ( -1,1 \right ) η εξίσωση:
\displaystyle{x^{2}+\frac{x}{a^{2}-1}+\frac{1}{a-1}=0} έχει δύο πραγματικές και άνισες ρίζες.
Το p(x)= x^{2}+\frac{x}{a^{2}-1}+\frac{1}{a-1} ικανοποιεί  p(0) = \frac{1}{a-1} <0 (για τα a που δίνονται). Έπεται ότι, ως παραβολή με θετικό πρώτο συντελεστή (και άρα μορφής U), έχει ακριβώς δύο ρίζες.

Μιχάλη, με άλλα λόγια το τριώνυμο \displaystyle{x^{2}+\frac{x}{a^{2}-1}+\frac{1}{a-1}} έχει "\frac{\gamma }{\alpha }< 0 άρα \Delta > 0", για να θυμηθούμε μία παρατήρηση που λείπει από το τωρινό σχολικό βιβλίο.


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες