Από γαλλικές εξετάσεις...

M.S.Vovos · #1

Να αποδείξετε ότι για κάθε $a\in \left ( -\infty ,-1 \right )\cup \left ( -1,1 \right )$ η εξίσωση:
$\displaystyle{x^{2}+\frac{x}{a^{2}-1}+\frac{1}{a-1}=0}$ έχει δύο πραγματικές και άνισες ρίζες.

Φιλικά,
Μάριος

Υ.Γ. Η λύση που έχω χρησιμοποιεί παραγώγους. Ίσως όμως να υπάρχει λύση και με ύλη μικρότερων τάξεων.

Ορέστης Λιγνός · #2

M.S.Vovos έγραψε: ↑
Κυρ Μαρ 17, 2019 2:23 pm
Να αποδείξετε ότι για κάθε $a\in \left ( -\infty ,-1 \right )\cup \left ( -1,1 \right )$ η εξίσωση:
$\displaystyle{x^{2}+\frac{x}{a^{2}-1}+\frac{1}{a-1}=0}$ έχει δύο πραγματικές και άνισες ρίζες.

Φιλικά,
Μάριος

Υ.Γ. Η λύση που έχω χρησιμοποιεί παραγώγους. Ίσως όμως να υπάρχει λύση και με ύλη μικρότερων τάξεων.

Αρκεί να δείξω ότι η εξίσωση (a^2-1)x^2+x+a+1=0

για κάθε $a\in \left ( -\infty ,-1 \right )\cup \left ( -1,1 \right )$ έχει δύο πραγματικές και άνισες ρίζες.

Προφανώς, αφού $a \neq \pm 1$ , μιλάμε για τριώνυμο με Διακρίνουσα $\Delta=1-4(a^2-1)(a+1)=1+4(1-a)(a+1)^2>0$ , αφού a<1

.

Άρα, $\Delta>0$ , για κάθε

, οπότε η εξίσωση έχει δύο άνισες (πραγματικές) ρίζες.

Υ.Γ. Διόρθωση της λύσης μετά από παρατήρηση του Μάριου (δείτε πιο κάτω) τον οποίο και ευχαριστώ.

M.S.Vovos · #3

Ορέστης Λιγνός έγραψε: ↑
Κυρ Μαρ 17, 2019 2:39 pm

M.S.Vovos έγραψε: ↑
Κυρ Μαρ 17, 2019 2:23 pm
Να αποδείξετε ότι για κάθε $a\in \left ( -\infty ,-1 \right )\cup \left ( -1,1 \right )$ η εξίσωση:
$\displaystyle{x^{2}+\frac{x}{a^{2}-1}+\frac{1}{a-1}=0}$ έχει δύο πραγματικές και άνισες ρίζες.

Φιλικά,
Μάριος

Υ.Γ. Η λύση που έχω χρησιμοποιεί παραγώγους. Ίσως όμως να υπάρχει λύση και με ύλη μικρότερων τάξεων.
Αρκεί να δείξω ότι η εξίσωση για κάθε $a\in \left ( -\infty ,-1 \right )\cup \left ( -1,1 \right )$ έχει δύο πραγματικές και άνισες ρίζες.

Προφανώς, αφού $a \neq \pm 1$ , μιλάμε για τριώνυμο με Διακρίνουσα $\Delta=(a+1)^2-4(a^2-1)(a+1)=(a-1)^2(5-4a)$ .

Όμως, σε κάθε περίπτωση , οπότε , άρα $\Delta>0$ , και το ζητούμενο έπεται.

Ορέστη για ξαναδές το.

#4

M.S.Vovos έγραψε: ↑
Κυρ Μαρ 17, 2019 2:23 pm
Να αποδείξετε ότι για κάθε $a\in \left ( -\infty ,-1 \right )\cup \left ( -1,1 \right )$ η εξίσωση:
$\displaystyle{x^{2}+\frac{x}{a^{2}-1}+\frac{1}{a-1}=0}$ έχει δύο πραγματικές και άνισες ρίζες.

Το $p(x)= x^{2}+\frac{x}{a^{2}-1}+\frac{1}{a-1}$ ικανοποιεί $p(0) = \frac{1}{a-1} <0$ (για τα

που δίνονται). Έπεται ότι, ως παραβολή με θετικό πρώτο συντελεστή (και άρα μορφής U), έχει ακριβώς δύο ρίζες.

#5

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Δευ Μαρ 18, 2019 8:20 am

M.S.Vovos έγραψε: ↑
Κυρ Μαρ 17, 2019 2:23 pm
Να αποδείξετε ότι για κάθε $a\in \left ( -\infty ,-1 \right )\cup \left ( -1,1 \right )$ η εξίσωση:
$\displaystyle{x^{2}+\frac{x}{a^{2}-1}+\frac{1}{a-1}=0}$ έχει δύο πραγματικές και άνισες ρίζες.

Το $p(x)= x^{2}+\frac{x}{a^{2}-1}+\frac{1}{a-1}$ ικανοποιεί $p(0) = \frac{1}{a-1} <0$ (για τα που δίνονται). Έπεται ότι, ως παραβολή με θετικό πρώτο συντελεστή (και άρα μορφής U), έχει ακριβώς δύο ρίζες.

Μιχάλη, με άλλα λόγια το τριώνυμο $\displaystyle{x^{2}+\frac{x}{a^{2}-1}+\frac{1}{a-1}}$ έχει " $\frac{\gamma }{\alpha }< 0$ άρα $\Delta > 0$ ", για να θυμηθούμε μία παρατήρηση που λείπει από το τωρινό σχολικό βιβλίο.

Από γαλλικές εξετάσεις...

Από γαλλικές εξετάσεις...

Re: Από γαλλικές εξετάσεις...

Re: Από γαλλικές εξετάσεις...

Re: Από γαλλικές εξετάσεις...

Re: Από γαλλικές εξετάσεις...

Μέλη σε σύνδεση