Μοναδική ρίζα

Συντονιστής: KAKABASBASILEIOS

Άβαταρ μέλους
nikos_el
Δημοσιεύσεις: 119
Εγγραφή: Παρ Ιαν 02, 2015 5:00 pm

Μοναδική ρίζα

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από nikos_el » Πέμ Μαρ 14, 2019 12:28 am

Έστω παραγωγίσιμη συνάρτηση f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R} με f'\left(x\right)>1, \forall x\in\mathbb{R}. Να δείξετε ότι η f έχει μοναδική πραγματική ρίζα.

Λύση
Επειδή f'\left(x\right)>0, η f είναι γνησίως αύξουσα, οπότε θα έχει το πολύ μία ρίζα.
Σύμφωνα με το ΘΜΤ, για κάθε x>0, υπάρχει \xi\in\left(0,x\right) τέτοιο, ώστε f'\left(\xi\right)=\dfrac{f\left(x\right)-f\left(0\right)}{x-0}\Leftrightarrow f\left(x\right)=xf'\left(\xi\right)+f\left(0\right). Οπότε, είναι \displaystyle\lim_{x\rightarrow+\infty}f\left(x\right)=\lim_{x\rightarrow+\infty}\left(xf'\left(\xi\right)+f\left(0\right)\right)=+\infty, αφού f'\left(\xi\right)>0. Ομοίως, βρίσκουμε \displaystyle \lim_{x\rightarrow-\infty}f\left(x\right)=-\infty, και αφού η f είναι συνεχής και γνησίως αύξουσα, ισχύει f\left(\mathbb{R}\right)=\mathbb{R}.
Άρα, η f έχει μοναδική ρίζα.


Η παραπάνω λύση είναι σωστή; Ο προβληματισμός μου έγκειται στο αν μπορούμε να πάρουμε το όριο στο \infty με τον παραπάνω τρόπο.


The road to success is always under construction

Λέξεις Κλειδιά:
Λάμπρος Κατσάπας
Δημοσιεύσεις: 328
Εγγραφή: Σάβ Ιουν 17, 2017 10:17 pm
Τοποθεσία: Αθήνα

Re: Μοναδική ρίζα

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Λάμπρος Κατσάπας » Πέμ Μαρ 14, 2019 12:49 am

nikos_el έγραψε:
Πέμ Μαρ 14, 2019 12:28 am
Οπότε, είναι \displaystyle\lim_{x\rightarrow+\infty}f\left(x\right)=\lim_{x\rightarrow+\infty}\left(xf'\left(\xi\right)+f\left(0\right)\right)=+\infty, αφού f'\left(\xi\right)>0.
Στο συμμαζεύω λιγάκι.

\displaystyle f\left(x\right)=xf'\left(\xi)+f(0) >x+f(0) αφού {f}'(\xi )>1. Παίρνοντας όριο στο +\infty έχουμε το ζητούμενο.

Γενικά (όχι εδώ) θα μπορούσε να συμβεί το εξής: Όταν x\rightarrow +\infty το f'\left(\xi)\rightarrow 0.

Οπότε το x θα ''τράβαγε'' το xf'\left(\xi) στο +\infty ενώ το f'\left(\xi) θα το

''τράβαγε'' στο 0. Οπότε το xf'\left(\xi) δεν ξέρεις που θα ''κάτσει'' τελικά (αν κάτσει κιόλας κάπου).

Άρα εκεί που λες
nikos_el έγραψε:
Πέμ Μαρ 14, 2019 12:28 am
αφού f'\left(\xi\right)>0
η εξήγηση δεν είναι καλή.


Άβαταρ μέλους
Christos.N
Δημοσιεύσεις: 1624
Εγγραφή: Πέμ Νοέμ 26, 2009 2:28 pm
Τοποθεσία: Ίλιον

Re: Μοναδική ρίζα

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Christos.N » Πέμ Μαρ 14, 2019 1:20 am

αφου το x>0 πως παίρνεις το όριο στο -\infty;


Ντάβας Χρήστος
Wir müssen wissen — wir werden wissen! D.Hilbert
Άβαταρ μέλους
nikos_el
Δημοσιεύσεις: 119
Εγγραφή: Παρ Ιαν 02, 2015 5:00 pm

Re: Μοναδική ρίζα

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από nikos_el » Πέμ Μαρ 14, 2019 1:29 am

Christos.N έγραψε:
Πέμ Μαρ 14, 2019 1:20 am
αφου το x>0 πως παίρνεις το όριο στο -\infty;
Αν x<0, κάνοντας ΘΜΤ στο \left(x,0\right) έχουμε ότι υπάρχει \xi\in\left(x,0\right) τέτοιο, ώστε f'\left(\xi\right)=\dfrac{f\left(0\right)-f\left(x\right)}{0-x}\Leftrightarrow f\left(x\right)=xf'\left(\xi\right)+f\left(0\right) (δηλαδή η ίδια σχέση που προέκυψε και για x>0) και μετά παίρνουμε όριο στο -\infty


The road to success is always under construction
Άβαταρ μέλους
nikos_el
Δημοσιεύσεις: 119
Εγγραφή: Παρ Ιαν 02, 2015 5:00 pm

Re: Μοναδική ρίζα

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από nikos_el » Πέμ Μαρ 14, 2019 1:36 am

Λίγο διαφορετικά:
Για κάθε x\in\mathbb{R} έχουμε: f'\left(x\right)>1 \Leftrightarrow \left(f\left(x\right)-x\right)'>0, δηλαδή η συνάρτηση g\left(x\right)=f\left(x\right)-x είναι γνησίως αύξουσα. Οπότε, για x>0 είναι: g\left(x\right)>g\left(0\right)\Leftrightarrow f\left(x\right)>x+f\left(0\right) και παίρνοντας όρια στο +\infty βρίσκουμε \displaystyle \lim_{x\rightarrow+\infty}f\left(x\right)=+\infty. Ομοίως, παίρνουμε \displaystyle \lim_{x\rightarrow-\infty}f\left(x\right)=-\infty. Και τα υπόλοιπα όπως προηγουμένως.


The road to success is always under construction
Άβαταρ μέλους
Christos.N
Δημοσιεύσεις: 1624
Εγγραφή: Πέμ Νοέμ 26, 2009 2:28 pm
Τοποθεσία: Ίλιον

Re: Μοναδική ρίζα

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Christos.N » Πέμ Μαρ 14, 2019 1:14 pm

nikos_el έγραψε:
Πέμ Μαρ 14, 2019 1:29 am
Christos.N έγραψε:
Πέμ Μαρ 14, 2019 1:20 am
αφου το x>0 πως παίρνεις το όριο στο -\infty;
Αν x<0, κάνοντας ΘΜΤ στο \left(x,0\right) έχουμε ότι υπάρχει \xi\in\left(x,0\right) τέτοιο, ώστε f'\left(\xi\right)=\dfrac{f\left(0\right)-f\left(x\right)}{0-x}\Leftrightarrow f\left(x\right)=xf'\left(\xi\right)+f\left(0\right) (δηλαδή η ίδια σχέση που προέκυψε και για x>0) και μετά παίρνουμε όριο στο -\infty
Μπορείς να το αποδείξεις αναλυτικά αυτό;
nikos_el έγραψε:
Πέμ Μαρ 14, 2019 1:36 am
Λίγο διαφορετικά:
... Ομοίως, παίρνουμε \displaystyle \lim_{x\rightarrow-\infty}f\left(x\right)=-\infty. Και τα υπόλοιπα όπως προηγουμένως.
ή αυτό;

Δεν χρειάζεται όμως σωστές είναι και οι δύο προσεγγίσεις.


Ντάβας Χρήστος
Wir müssen wissen — wir werden wissen! D.Hilbert
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 4 επισκέπτες