mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Κυρ Μαρ 10, 2019 7:46 pm**

: triangle.png (8.02 KiB) Προβλήθηκε 987 φορές

Το τρίγωνο $\displaystyle ABC$ είναι ορθογώνιο και ισοσκελές . Ποια θέση των $\displaystyle D,E$ επιτυγχάνει τη μεγιστοποίηση του εμβαδού της μπλε περιοχής ;

Δημοσιεύτηκε: **Κυρ Μαρ 10, 2019 8:55 pm**

exdx έγραψε: ↑
Κυρ Μαρ 10, 2019 7:46 pm
triangle.pngΤο τρίγωνο $\displaystyle ABC$ είναι ορθογώνιο και ισοσκελές . Ποια θέση των $\displaystyle D,E$ επιτυγχάνει τη μεγιστοποίηση του εμβαδού της μπλε περιοχής ;

Μπορούμε και χωρίς Διαφορικό Λογισμό.

Έστω a,b,c

τα ύψη των λευκών (ορθογωνίων και ισοσκελών) τριγώνων, οπότε a+b+c=1

. Η ερώτηση είναι ισοδύναμη με την εύρεση του ελάχιστου της λευκής περιοχής, δηλαδή του $\frac {1}{2}(a^2+b^2+c^2)$ . Αυτό όμως είναι άμεσο από την ανισότητα C-S, εδώ

$1=a+b+c \le \sqrt {1^2+1^2+1^2} \sqrt {a^2+b^2+c^2}$ με ισότητα αν a=b=c=1/3

. Και λοιπά.

Δημοσιεύτηκε: **Κυρ Μαρ 10, 2019 9:02 pm**

Καλησπέρα σε όλους. Ξεκινώ με μια Αλγεβρική λύση με συντεταγμένες (όχι απαραίτητες) και ακρότατα τριωνύμου, δίχως παραγώγους.

: triangle.png (8.02 KiB) Προβλήθηκε 965 φορές

Έστω $\displaystyle D\left( {a,1 - a} \right),\;E\left( {b,\;1 - b} \right),\;\;0 < a \le b < 1$ .

Το εμβαδό

της σκιασμένης περιοχής ισούται με το εμβαδόν του τριγώνου μείον το εμβαδόν των λευκών τριγώνων.

Δηλαδή $\displaystyle E = \frac{1}{2} - \frac{{{a^2}}}{2} - \frac{{{{\left( {b - a} \right)}^2}}}{2} - \frac{{{{\left( {1 - b} \right)}^2}}}{2} = ab + b - {a^2} - {b^2}$ .

Το τριώνυμο $\displaystyle - {a^2} + ab + b - {b^2}$ , ως προς

, έχει μέγιστο όταν $\displaystyle a = \frac{b}{2}$ , με τιμή $\displaystyle \frac{{4b - 3{b^2}}}{4}$ .

Το μέγιστο του $\displaystyle - 3{b^2} + 4b$ προκύπτει όταν $\displaystyle b = \frac{2}{3}$ , άρα το μέγιστο εμβαδό

της σκιασμένης περιοχής ισούται με $\displaystyle \frac{1}{3}$ και προκύπτει όταν τα D, E

τριχοτομούν τη

.

2η ΛΥΣΗ (χωρίς συντεταγμένες):

Έστω a, b

οι αποστάσεις των B, D

από την

αντίστοιχα με $0<a \leq b<1$ .

Το εμβαδό

της σκιασμένης περιοχής ισούται με

$\displaystyle E = a\left( {1 - a} \right) + \left( {b - a} \right)\left( {1 - b} \right) = - {a^2} + ab + b - {b^2}$

Συνεχίζουμε όπως παραπάνω.

Δημοσιεύτηκε: **Κυρ Μαρ 10, 2019 9:54 pm**

Καλό βράδυ σε όλους.

Νομίζω το πρόβλημα δεν θέλει καθόλου πράξεις.

Γνωρίζουμε ότι αν έχουμε ένα σημείο το εμβαδόν μεγιστοποιείται όταν και μόνο όταν το σημείο ταυτιστεί με το μέσο του BC.