- triangle.png (8.02 KiB) Προβλήθηκε 743 φορές
Με απλά υλικά (18)
Συντονιστής: KAKABASBASILEIOS
- exdx
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 1733
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 6:00 pm
- Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης
- Επικοινωνία:
Με απλά υλικά (18)
Το τρίγωνο είναι ορθογώνιο και ισοσκελές . Ποια θέση των επιτυγχάνει τη μεγιστοποίηση του εμβαδού της μπλε περιοχής ;
Kαλαθάκης Γιώργης
Λέξεις Κλειδιά:
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 15741
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am
Re: Με απλά υλικά (18)
Μπορούμε και χωρίς Διαφορικό Λογισμό.
Έστω τα ύψη των λευκών (ορθογωνίων και ισοσκελών) τριγώνων, οπότε . Η ερώτηση είναι ισοδύναμη με την εύρεση του ελάχιστου της λευκής περιοχής, δηλαδή του . Αυτό όμως είναι άμεσο από την ανισότητα C-S, εδώ
με ισότητα αν . Και λοιπά.
τελευταία επεξεργασία από Mihalis_Lambrou σε Δευ Μαρ 11, 2019 7:54 am, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.
- Γιώργος Ρίζος
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 5283
- Εγγραφή: Δευ Δεκ 29, 2008 1:18 pm
- Τοποθεσία: Κέρκυρα
Re: Με απλά υλικά (18)
Καλησπέρα σε όλους. Ξεκινώ με μια Αλγεβρική λύση με συντεταγμένες (όχι απαραίτητες) και ακρότατα τριωνύμου, δίχως παραγώγους.
Έστω .
Το εμβαδό της σκιασμένης περιοχής ισούται με το εμβαδόν του τριγώνου μείον το εμβαδόν των λευκών τριγώνων.
Δηλαδή .
Το τριώνυμο , ως προς , έχει μέγιστο όταν , με τιμή .
Το μέγιστο του προκύπτει όταν , άρα το μέγιστο εμβαδό της σκιασμένης περιοχής ισούται με και προκύπτει όταν τα τριχοτομούν τη .
2η ΛΥΣΗ (χωρίς συντεταγμένες):
Έστω οι αποστάσεις των από την αντίστοιχα με .
Το εμβαδό της σκιασμένης περιοχής ισούται με
Συνεχίζουμε όπως παραπάνω.
Έστω .
Το εμβαδό της σκιασμένης περιοχής ισούται με το εμβαδόν του τριγώνου μείον το εμβαδόν των λευκών τριγώνων.
Δηλαδή .
Το τριώνυμο , ως προς , έχει μέγιστο όταν , με τιμή .
Το μέγιστο του προκύπτει όταν , άρα το μέγιστο εμβαδό της σκιασμένης περιοχής ισούται με και προκύπτει όταν τα τριχοτομούν τη .
2η ΛΥΣΗ (χωρίς συντεταγμένες):
Έστω οι αποστάσεις των από την αντίστοιχα με .
Το εμβαδό της σκιασμένης περιοχής ισούται με
Συνεχίζουμε όπως παραπάνω.
-
- Δημοσιεύσεις: 838
- Εγγραφή: Σάβ Ιουν 17, 2017 10:17 pm
- Τοποθεσία: Αθήνα
Re: Με απλά υλικά (18)
Καλό βράδυ σε όλους.
Νομίζω το πρόβλημα δεν θέλει καθόλου πράξεις.
Γνωρίζουμε ότι αν έχουμε ένα σημείο το εμβαδόν μεγιστοποιείται όταν και μόνο όταν το σημείο ταυτιστεί με το μέσο του
Με δύο σημεία τώρα. Όπου και να τοποθετήσουμε το το θα πρέπει να μπει στο μέσο του
(κοιτώντας στο τρίγωνο με κορυφές τα και την προβολή του πάνω στην ).
Το ίδιο επιχείρημα ισχύει και για το Άρα πρέπει και αρκεί και
δηλαδή .
Νομίζω το πρόβλημα δεν θέλει καθόλου πράξεις.
Γνωρίζουμε ότι αν έχουμε ένα σημείο το εμβαδόν μεγιστοποιείται όταν και μόνο όταν το σημείο ταυτιστεί με το μέσο του
Με δύο σημεία τώρα. Όπου και να τοποθετήσουμε το το θα πρέπει να μπει στο μέσο του
(κοιτώντας στο τρίγωνο με κορυφές τα και την προβολή του πάνω στην ).
Το ίδιο επιχείρημα ισχύει και για το Άρα πρέπει και αρκεί και
δηλαδή .
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 5 επισκέπτες