όριο

Συντονιστής: KAKABASBASILEIOS

xarit
Δημοσιεύσεις: 34
Εγγραφή: Κυρ Νοέμ 04, 2018 6:12 pm

όριο

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από xarit » Τετ Μαρ 06, 2019 1:28 am

Καλησπέρα.
Ν.β το όριο:\underset{x\to +\infty}{\mathop{\lim}}\,[cos\sqrt{x^2+3}-cosx]=l
Κάνω ΘΜΤ στο [x,\sqrt{x^2+3] για την f(x)=cosx και βρίσκω f'(t)=\dfrac{cos\sqrt{x^2+3}-cosx}{\sqrt{x^2+3}-x}
Άρα l=\underset{x\to +\infty}{\mathop{\lim}}\,f'(t)\cdot(\sqrt{x^2+3}-x)=f'(t)\cdot 0=0
Υπάρχει κάποιο λάθος;Έχω την εντύπωση ότι δεν είναι σωστό αλλά δεν ξέρω γιατί.



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 4263
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη
Επικοινωνία:

Re: όριο

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Tolaso J Kos » Τετ Μαρ 06, 2019 2:50 am

xarit έγραψε:
Τετ Μαρ 06, 2019 1:28 am
Καλησπέρα.
Ν.β το όριο:\underset{x\to +\infty}{\mathop{\lim}}\,[cos\sqrt{x^2+3}-cosx]=l
Κάνω ΘΜΤ στο [x,\sqrt{x^2+3] για την f(x)=cosx και βρίσκω f'(t)=\dfrac{cos\sqrt{x^2+3}-cosx}{\sqrt{x^2+3}-x}
Άρα l=\underset{x\to +\infty}{\mathop{\lim}}\,f'(t)\cdot(\sqrt{x^2+3}-x)=f'(t)\cdot 0=0
Υπάρχει κάποιο λάθος;Έχω την εντύπωση ότι δεν είναι σωστό αλλά δεν ξέρω γιατί.
Ναι, και μάλιστα είναι πολύ βασικό! Αυτό το t που βρίσκεις δεν είναι σταθερά , αλλά εξαρτάται κάθε φορά από το διάστημα \left[x, \sqrt{x^2+3} \right]. Ουσιαστικά υπάρχει t_x \in \left[x, \sqrt{x^2+3} \right] τέτοιο ώστε

\displaystyle{f'\left(t_x\right) = \frac{\cos\sqrt{x^2+3}-\cos x}{\sqrt{x^2+3}-x}}
Συνεπώς , έχεις να βρεις το όριο \displaystyle{\lim_{x \rightarrow +\infty} f'(t_x) \left( \sqrt{x^2+3} - x \right)} το οποίο δεν είναι ευκολότερο και από το αρχικό.


Σημείωση 1: Το όριο κάνει 0 . Αφήνεται στον αναγνώστη η απόδειξη.

Σημείωση 2: Αν και αυτή η τεχνική είναι ευρέως γνωστή , καλό είναι να αποφεύγεται από μαθητές Λυκείου εκτός και αν ξέρουν τι κάνουν. Δείτε σχετική παλιά συζήτηση εδώ.


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}
stranger
Δημοσιεύσεις: 191
Εγγραφή: Δευ Ιαν 14, 2019 6:12 am
Τοποθεσία: United States of America

Re: όριο

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από stranger » Τετ Μαρ 06, 2019 5:34 am

Μπορείς απλά να πεις ότι επειδή f'(x)=-sinx έχουμε |f'(t_{x})| \leq 1 και επίσης \sqrt{x^2+3}-x \rightarrow 0 όταν x \rightarrow +\infty. Οπότε το όριο κάνει 0.


Κωνσταντίνος Σμπώκος
Μαθηματικός, PhD
Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 4263
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη
Επικοινωνία:

Re: όριο

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Tolaso J Kos » Τετ Μαρ 06, 2019 4:40 pm

stranger έγραψε:
Τετ Μαρ 06, 2019 5:34 am
Μπορείς απλά να πεις ότι επειδή f'(x)=-sinx έχουμε |f'(t_{x})| \leq 1 και επίσης \sqrt{x^2+3}-x \rightarrow 0 όταν x \rightarrow +\infty. Οπότε το όριο κάνει 0.
Πρώτον , η f' δεν κάνει τόσο. Δεύτερον, ακόμα και αν |f'(t_x) | \leq 1 δεν εγγυάται κανείς ότι το όριο θα κάνει 0 αφού το όριο της f' μπορεί καν να μην υπάρχει. Όπως το βλέπω , θέλει λίγη δουλίτσα!


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}
stranger
Δημοσιεύσεις: 191
Εγγραφή: Δευ Ιαν 14, 2019 6:12 am
Τοποθεσία: United States of America

Re: όριο

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από stranger » Τετ Μαρ 06, 2019 6:39 pm

Νομίζω πως κάνεις λάθος.Έχουμε f(x)= cosx άρα προφανώς f'(x)=-sinx.
Τι σημασία έχει αν υπάρχει το όριο της f'? Αφού |f'(t_{x})| \leq 1 έχουμε μηδενική επί φραγμένη. Άρα το όριο κάνει 0.


Κωνσταντίνος Σμπώκος
Μαθηματικός, PhD
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Google [Bot] και 1 επισκέπτης