Απορία σε απόδειξη θεωρήματος

Συντονιστής: KAKABASBASILEIOS

Soniram89
Δημοσιεύσεις: 72
Εγγραφή: Δευ Απρ 09, 2018 8:48 pm

Απορία σε απόδειξη θεωρήματος

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Soniram89 » Σάβ Φεβ 23, 2019 7:54 pm

Θεώρημα σχολικού βιβλίου σελ 144

Έστω μία συνάρτηση f παραγωγίσιμη σ'ένα διάστημα (a,b) με εξαίρεση ίσως ένα σημείο του x_{0}, στο οποίο όμως η f είναι συνεχής.

iii) Αν η {f}' διατηρεί πρόσημο στο (a,x_{0})\cup (x_{0},b), τότε το f(x_{0}) δεν είναι τοπικό ακρότατο.

Απόδειξη σχολικού: f συνεχής στο (a,x_{0}], f παραγωγίσιμη στο (a,x_{0}) και {f(x)}'>0,  \forall x\epsilon (a,x_{0}) (όπως έχει θεωρήσει) \Rightarrow f γν. αύξουσα στο (a,x_{0}].Τα ίδια και για την f στο [x_{0},b).

Μετά συνεχίζει ... Επομένως για x_{1}<x_{0}<x_{2} \Rightarrow f(x_{1})<f(x_{0})<f(x_{2}). Άρα το f(x_{0}) όχι τοπικό ακρότατο.

Οι απορίες μου είναι οι εξής:
1)Τα x_{1},x_{2} που βρίσκονται?
2)Από ποιό θεώρημα προκύπτει αυτή η συνεπαγωγή: x_{1}<x_{0}<x_{2} ισχύει f(x_{1})<f(x_{0})<f(x_{2}) ?
3)Απο πότε απαγορεύεται κάποιο τοπικό μέγιστο-ελάχιστο να είναι μικρότερο-μεγαλύτερο από κάποια άλλη τιμή της f ? Αφού ο ορισμός μας λέει για \delta >0 και περιοχή (x_{0}-\delta,x_{0}+\delta): f(x)\leqslant f(x_{0}), f(x)\geq f(x_{0})

Ευχαριστώ πολύ!!!
τελευταία επεξεργασία από Soniram89 σε Σάβ Φεβ 23, 2019 8:12 pm, έχει επεξεργασθεί 2 φορές συνολικά.



Λέξεις Κλειδιά:
Νίκος Ζαφειρόπουλος
Δημοσιεύσεις: 289
Εγγραφή: Κυρ Απρ 12, 2009 1:06 am
Τοποθεσία: ΖΑΚΥΝΘΟΣ
Επικοινωνία:

Re: Απορία σε απόδειξη θεωρήματος

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Νίκος Ζαφειρόπουλος » Σάβ Φεβ 23, 2019 8:10 pm

Soniram89 έγραψε:
Σάβ Φεβ 23, 2019 7:54 pm
Θεώρημα σχολικού βιβλίου σελ 144

Έστω μία συνάρτηση f παραγωγίσιμη σ'ένα διάστημα (a,b) με εξαίρεση ίσως ένα σημείο του x_{0}, στο οποίο όμως η f είναι συνεχής.

iii) Αν η {f}' διατηρεί πρόσημο στο (a,x_{0})\cup (x_{0},b), τότε το f(x_{0}) δεν είναι τοπικό ακρότατο.

Απόδειξη σχολικού: f συνεχής στο (a,x_{0}], f παραγωγίσιμη στο (a,x_{0}) και {f(x)}'>0,  \forall x\epsilon (a,x_{0}) (όπως έχει θεωρήσει) \Rightarrow f γν. αύξουσα στο (a,x_{0}].Τα ίδια και για την f στο [x_{0},b).

Μετά συνεχίζει ... Επομένως για x_{1}<x_{0}<x_{2} \Rightarrow f(x_{1})<f(x_{0})<f(x_{2}). Άρα το f(x_{0}) όχι τοπικό ακρότατο.

Οι απορίες μου είναι οι εξής:
1)Τα x_{1},x_{2} που βρίσκονται?
2)Από ποιό θεώρημα προκύπτει αυτή η συνεπαγωγή: x_{1}<x_{0}<x_{2} ισχύει f(x_{1})<f(x_{0})<f(x_{2}) ?
3)Απο πότε απαγορεύεται κάποιο τοπικό μέγιστο να είναι μικρότερο από κάποια άλλη τιμή της f ? Αφού ο ορισμός μας λέει για \delta >0 και περιοχή (x_{0}-\delta,x_{0}+\delta): f(x)\leqslant f(x_{0})

Ευχαριστώ πολύ!!!
1. x_1 \in (a,x_0) και x_2 \in (x_0,b)

2. Αυτό προκύπτει από τον ορισμό της γνησίως αύξουσας συνάρτησης.

3. Το πρώτο που γράφεις γενικά δεν απαγορεύεται , αλλά δεν έχει σχέση με τα προηγούμενα.


Soniram89
Δημοσιεύσεις: 72
Εγγραφή: Δευ Απρ 09, 2018 8:48 pm

Re: Απορία σε απόδειξη θεωρήματος

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Soniram89 » Σάβ Φεβ 23, 2019 8:16 pm

NIZ έγραψε:
Σάβ Φεβ 23, 2019 8:10 pm

1. x_1 \in (a,x_0) και x_2 \in (x_0,b)

2. Αυτό προκύπτει από τον ορισμό της γνησίως αύξουσας συνάρτησης.

3. Το πρώτο που γράφεις γενικά δεν απαγορεύεται , αλλά δεν έχει σχέση με τα προηγούμενα.
Ναι αλλά ο ορισμός μας μιλάει για τυχαία x_1,x_2 εδώ έχει γίνει επιλογή εκατέρωθεν του x_0. Οι άλλες περιπτώσεις που ελέγχονται?

Πως δεν έχει σχέση, αφού από τον τελευταίο ισχυρισμό συμπεραίνει ότι δεν είναι τοπικό ακρότατο.


Soniram89
Δημοσιεύσεις: 72
Εγγραφή: Δευ Απρ 09, 2018 8:48 pm

Re: Απορία σε απόδειξη θεωρήματος

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Soniram89 » Σάβ Φεβ 23, 2019 8:29 pm

Ναι τώρα μόλις κατάλαβα γιατί γίνεται αυτή η επιλογή δεξιά και αριστερά του x_0 προφανώς γιατί αυτό το κρίσιμο σημείο θέλουμε να χαρακτηρίσουμε, αλλά η τελευταία μου απορία ακόμα παραμένει. Γιατί δηλαδή η τελευταία ανισότητα μας οδηγεί σε αποκλεισμό του f(x_0) από θέση τοπικού ακροτάτου.


Soniram89
Δημοσιεύσεις: 72
Εγγραφή: Δευ Απρ 09, 2018 8:48 pm

Re: Απορία σε απόδειξη θεωρήματος

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Soniram89 » Σάβ Φεβ 23, 2019 8:34 pm

Νομίζω ότι το ξεκαθάρισα τελείως.Δεν θα έπρεπε όμως κάπου να αναφέρει ότι επιλέξουμε "πολύ κοντά" τα x_1 , x_2 στο x_0??


Νίκος Ζαφειρόπουλος
Δημοσιεύσεις: 289
Εγγραφή: Κυρ Απρ 12, 2009 1:06 am
Τοποθεσία: ΖΑΚΥΝΘΟΣ
Επικοινωνία:

Re: Απορία σε απόδειξη θεωρήματος

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Νίκος Ζαφειρόπουλος » Σάβ Φεβ 23, 2019 8:40 pm

Μα για να είναι το f(x_0) τοπικό ακρότατο , δεν θα έπρεπε να υπάρχει περιοχή με κέντρο το x_0 στην οποία να ισχύει ότι
f(x_0)\leq f(x) ( ή f(x_0)\geq f(x) ) , για κάθε x της περιοχής αυτής ;


Soniram89
Δημοσιεύσεις: 72
Εγγραφή: Δευ Απρ 09, 2018 8:48 pm

Re: Απορία σε απόδειξη θεωρήματος

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Soniram89 » Σάβ Φεβ 23, 2019 8:47 pm

NIZ έγραψε:
Σάβ Φεβ 23, 2019 8:40 pm
Μα για να είναι το f(x_0) τοπικό ακρότατο , δεν θα έπρεπε να υπάρχει περιοχή με κέντρο το x_0 στην οποία να ισχύει ότι
f(x_0)\leq f(x) ( ή f(x_0)\geq f(x) ) , για κάθε χ της περιοχής αυτής ;
Ναι σωστά, όπου και να βρίσκονται τα x_1 , x_2 δεν μας ενδιαφέρει λόγω της μονοτονίας της f σε καθένα απο τα διαστήματα, επομένως σε καμία περίπτωση δεν υπάρχει η ζητούμενη περιοχή: f(x_0)\leq f(x) ή f(x_0)\geq f(x) .

Ευχαριστώ πολύ για τη βοήθεια!!!


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες