εκθετική ανισότητα
Συντονιστής: KAKABASBASILEIOS
- Tolaso J Kos
- Δημοσιεύσεις: 5222
- Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
- Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη
- Επικοινωνία:
Re: εκθετική ανισότητα
Γιώργη , γνωστή είναι αυτή. Για παράδειγμα ο Μπάρλας την έχει στην ενότητα με το Fermat. Anyway,
θεωρούμε συνάρτηση . Τότε είναι . Επειδή το και η είναι παραγωγίσιμη στο θα είναι από Fermat . Τότε όμως:
Αυτά!
Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
-
- Δημοσιεύσεις: 360
- Εγγραφή: Δευ Ιουν 18, 2012 1:51 pm
Re: εκθετική ανισότητα
Γιώργη και ,καλησπέρα!
Μια προσπάθεια, παρόμοια με του Tolaso J Kos με άλλη συνάρτηση...
Είναι .
Θεωρώ την συνάρτηση , παραγωγίσιμη με .
Παρατηρώ ότι
Συνεπώς για την ισχύουν οι προϋποθέσεις του Θεωρήματος Fermat.
Άρα έχουμε .
Φιλικά
Σταμ. Γλάρος
- george visvikis
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 13230
- Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am
Re: εκθετική ανισότητα
Καλησπέρα σε όλους!
Παρόμοια με τις προηγούμενες. Από τη δοσμένη σχέση καταλήγουμε στην
Έστω για κάθε άρα από Fermat,
Παρόμοια με τις προηγούμενες. Από τη δοσμένη σχέση καταλήγουμε στην
Έστω για κάθε άρα από Fermat,
-
- Δημοσιεύσεις: 3600
- Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
- Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 15740
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am
Re: εκθετική ανισότητα
Υπάρχουν και πολλές παραλλαγές της άσκησης. Για παράδειγμα πριν από και βάλε χρόνια η άσκηση στο CRUX έλεγε:
Αν και ισχύει για κάθε , δείξετε ότι .
Ας δούμε λύσεις. Είχα στείλει τότε στο CRUX δύο λύσεις, η μία χωρίς παραγώγους.
Αν και ισχύει για κάθε , δείξετε ότι .
Ας δούμε λύσεις. Είχα στείλει τότε στο CRUX δύο λύσεις, η μία χωρίς παραγώγους.
-
- Συντονιστής
- Δημοσιεύσεις: 1595
- Εγγραφή: Κυρ Φεβ 01, 2009 1:46 pm
Re: εκθετική ανισότητα
...δύο λύσεις ξεχωριστές από τα συνηθισμένα…Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑Σάβ Φεβ 16, 2019 5:39 pmΥπάρχουν και πολλές παραλλαγές της άσκησης. Για παράδειγμα πριν από και βάλε χρόνια η άσκηση στο CRUX έλεγε:
Αν και ισχύει για κάθε , δείξετε ότι .
Ας δούμε λύσεις. Είχα στείλει τότε στο CRUX δύο λύσεις, η μία χωρίς παραγώγους.
(1η Λύση) Είναι (1)
Για και από (1) και τότε
και αν είναι
άρα
Για και από (1) και τότε
και αν είναι
άρα έτσι
(2η Λύση)
Αν είναι παραγωγίσιμη με και
Και επειδή η είναι γνήσια αύξουσα επομένως όταν
και για
επομένως στο
η συνάρτηση παρουσιάζει ελάχιστο το
και αφού από τα δεδομένα είναι και
και με έχουμε ότι είναι
απ όπου
(γιατί από αρχική ανισότητα είναι
) και επειδή από
και η ισότητα μόνο όταν με όπου το ισχύει
επομένως έχουμε τελικά που ισχύει μόνο όταν
Φιλικά και Μαθηματικά
Βασίλης
f ανοιγοντας τους δρομους της Μαθηματικης σκεψης, f' παραγωγος επιτυχιας
Τα Μαθηματικά είναι απλά...όταν σκέπτεσαι σωστά...
Τα Μαθηματικά είναι αυτά...για να δεις πιό μακρυά...
Τα Μαθηματικά είναι μαγεία...όταν έχεις φαντασία...
Τα Μαθηματικά είναι απλά...όταν σκέπτεσαι σωστά...
Τα Μαθηματικά είναι αυτά...για να δεις πιό μακρυά...
Τα Μαθηματικά είναι μαγεία...όταν έχεις φαντασία...
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 15740
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am
Re: εκθετική ανισότητα
Αλλιώς: Γράφοντας η δοθείσα γίνεται .Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑Σάβ Φεβ 16, 2019 5:39 pmΥπάρχουν και πολλές παραλλαγές της άσκησης. Για παράδειγμα πριν από και βάλε χρόνια η άσκηση στο CRUX έλεγε:
Αν και ισχύει για κάθε , δείξετε ότι .
Ας δούμε λύσεις. Είχα στείλει τότε στο CRUX δύο λύσεις, η μία χωρίς παραγώγους.
Όμοια, γράφοντας γίνεται .
Οι δύο μαζί .
Παίρνοντας όρια έπεται , από όπου το ζητούμενο.
-
- Δημοσιεύσεις: 838
- Εγγραφή: Σάβ Ιουν 17, 2017 10:17 pm
- Τοποθεσία: Αθήνα
Re: εκθετική ανισότητα
Η για κάθε ισοδυναμεί με την για κάθε που ισοδυναμεί με τηνMihalis_Lambrou έγραψε: ↑Σάβ Φεβ 16, 2019 5:39 pmΥπάρχουν και πολλές παραλλαγές της άσκησης. Για παράδειγμα πριν από και βάλε χρόνια η άσκηση στο CRUX έλεγε:
Αν και ισχύει για κάθε , δείξετε ότι .
Ας δούμε λύσεις. Είχα στείλει τότε στο CRUX δύο λύσεις, η μία χωρίς παραγώγους.
για κάθε . Η τελευταία συνεπάγεται την για κάθε
και την για κάθε .
Από τις τελευταίες παίρνουμε και
που δίνουν τελικά και δηλαδή
- exdx
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 1733
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 6:00 pm
- Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης
- Επικοινωνία:
Re: εκθετική ανισότητα
, για κάθε . Από Fermat , υπάρχει ώστε
Άρα
Όμως για τη συνάρτηση ισχύει και
. Άρα έχει μοναδική λύση την οπότε
Άρα
Όμως για τη συνάρτηση ισχύει και
. Άρα έχει μοναδική λύση την οπότε
Kαλαθάκης Γιώργης
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 15740
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am
Re: εκθετική ανισότητα
Στο ίδιο μήκος κύματος αλλά πιο απλά.
Για την δίδεται , ισοδύναμα . Δηλαδή ολικό ελάχιστο και άρα . Το τελευταίο γράφεται . Απλοποιώντας το , έχουμε , οπότε .
Για την δίδεται , ισοδύναμα . Δηλαδή ολικό ελάχιστο και άρα . Το τελευταίο γράφεται . Απλοποιώντας το , έχουμε , οπότε .
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 17 επισκέπτες