Μέγιστη τιμή

Tolaso J Kos · #1

Έστω $\alpha>0$ . Να βρεθεί το μέγιστο της συνάρτησης

$\displaystyle{f(x)=\frac{1}{1+|x|} + \frac{1}{1+|x-\alpha|}}$
Θα μπορούσε να μπει και στο "Συναρτήσεις - Όρια - Συνέχεια"

Altrian · #2

Καλημέρα,

Διακρίνουμε τις ακόλουθες περιπτώσεις για το

:

$i) x\leq 0$ $(\Rightarrow x<a)$

$f(x)=\frac{1}{1-x}+\frac{1}{1-x+a}$
Εχουμε ότι: $x\leq 0\Rightarrow -x\geq 0\Rightarrow 1-x\geq 1\Rightarrow \frac{1}{1-x}\leq 1$ και

$x\leq 0\Rightarrow -x\geq 0\Rightarrow 1+a-x\geq 1+a\Rightarrow \frac{1}{1-x+a}\leq \frac{1}{1+a}$

Από τις δύο ανωτέρω προκύπτει ότι: $f(x)\leq 1+\frac{1}{1+a}=f(0)$

$ii) x\geq a$ . Με παρόμοια λογική εύκολα προκύπτει επίσης ότι $f(x)\leq 1+\frac{1}{1+a}=f(0)=f(a)$

$iii) 0\leq x\leq a$ . Και σε αυτή την περίπτωση εύκολα παίρνουμε ότι $f(x)\leq 1+\frac{1}{1+a}=f(0)=f(a)$

Συνδυάζοντας τις τρείς περιπτώσεις που εξαντλούν το πεδίο ορισμού του

παίρνουμε συνολικά ότι:

$f(x)\leq 1+\frac{1}{1+a}, x\in R$ . Επομένως η μέγιστη τιμή της

είναι συνάρτηση του

$f_{max}(x,a)=g(a)=1+\frac{1}{1+a}$

Τέλος η g(a)

είναι φθίνουσα για a> 0

δηλ. παίρνει την μέγιστη τιμή της για $a\rightarrow 0$ ίση με

.

Αρα $f_{max}=2.. (f_{max}\rightarrow 2)$ ακριβέστερα.

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #3

Tolaso J Kos έγραψε: ↑
Δευ Φεβ 11, 2019 8:52 pm
Έστω $\alpha>0$ . Να βρεθεί το μέγιστο της συνάρτησης

$\displaystyle{f(x)=\frac{1}{1+|x|} + \frac{1}{1+|x-\alpha|}}$
Θα μπορούσε να μπει και στο "Συναρτήσεις - Όρια - Συνέχεια"

Είναι $\displaystyle f(0)=f(a)=1+\frac{1}{1+|a|}$

Αρκεί να δείξουμε ότι $f(x)\leq f(0)$

1 περίπτωση.
$|x|\geq |a|$

η $|x-a|\geq |a|$ .

το συμπέρασμα είναι προφανές.
2 περίπτωση
|x|< |a|

και

Επειδή $|x|+|x-a|\geq |a|$ έχουμε $|x-a|\geq |a|-|x|$

Επειδή $(1+|x|)(1+|a|-|x|)=1+|a|+|x|(|a|-|x|)\geq 1+|a|$

συμπεραίνουμε ότι

$\displaystyle f(x)\leq \frac{1}{1+|x|}+\frac{1}{1+|a|-|x|}=\frac{2+|a|}{(1+|x|)(1+|a|-|x|)}\leq \frac{2+|a|}{1+|a|}=f(0)$

Οπως φαίνεται από τα παραπάνω το μόνο που χρειάζεται είναι ιδιότητες της απολύτου τιμής.

Που σημαίνει ότι θα μπορούσε να διατυπωθεί και ως εξης

Εστω X,||

χώρος με νόρμα και $a\in X$

Να βρεθεί η μέγιστη τιμή της

$\displaystyle{f(x)=\frac{1}{1+|x|} + \frac{1}{1+|x-a|}}$

Μέγιστη τιμή

Μέγιστη τιμή

Re: Μέγιστη τιμή

Re: Μέγιστη τιμή

Μέλη σε σύνδεση