Μέγιστη τιμή

Συντονιστής: KAKABASBASILEIOS

Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 4013
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη
Επικοινωνία:

Μέγιστη τιμή

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Tolaso J Kos » Δευ Φεβ 11, 2019 8:52 pm

Έστω \alpha>0. Να βρεθεί το μέγιστο της συνάρτησης

\displaystyle{f(x)=\frac{1}{1+|x|} + \frac{1}{1+|x-\alpha|}}
Θα μπορούσε να μπει και στο "Συναρτήσεις - Όρια - Συνέχεια"


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}

Λέξεις Κλειδιά:
Altrian
Δημοσιεύσεις: 197
Εγγραφή: Τρί Μάιος 01, 2018 4:51 pm
Τοποθεσία: Βούλα, Αττική

Re: Μέγιστη τιμή

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Altrian » Τρί Φεβ 12, 2019 10:11 am

Καλημέρα,

Διακρίνουμε τις ακόλουθες περιπτώσεις για το x:

i) x\leq 0  (\Rightarrow x<a)

f(x)=\frac{1}{1-x}+\frac{1}{1-x+a}
Εχουμε ότι: x\leq 0\Rightarrow -x\geq 0\Rightarrow 1-x\geq 1\Rightarrow \frac{1}{1-x}\leq 1 και

x\leq 0\Rightarrow -x\geq 0\Rightarrow 1+a-x\geq 1+a\Rightarrow \frac{1}{1-x+a}\leq \frac{1}{1+a}

Από τις δύο ανωτέρω προκύπτει ότι: f(x)\leq 1+\frac{1}{1+a}=f(0)

ii) x\geq a. Με παρόμοια λογική εύκολα προκύπτει επίσης ότι f(x)\leq 1+\frac{1}{1+a}=f(0)=f(a)

iii) 0\leq x\leq a. Και σε αυτή την περίπτωση εύκολα παίρνουμε ότι f(x)\leq 1+\frac{1}{1+a}=f(0)=f(a)

Συνδυάζοντας τις τρείς περιπτώσεις που εξαντλούν το πεδίο ορισμού του x παίρνουμε συνολικά ότι:

f(x)\leq 1+\frac{1}{1+a}, x\in R. Επομένως η μέγιστη τιμή της f είναι συνάρτηση του a

f_{max}(x,a)=g(a)=1+\frac{1}{1+a}

Τέλος η g(a) είναι φθίνουσα για a> 0 δηλ. παίρνει την μέγιστη τιμή της για a\rightarrow 0 ίση με 2.

Αρα f_{max}=2.. (f_{max}\rightarrow 2) ακριβέστερα.


Αλέξανδρος Τριανταφυλλάκης
ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 2699
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Μέγιστη τιμή

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Τρί Φεβ 12, 2019 1:35 pm

Tolaso J Kos έγραψε:
Δευ Φεβ 11, 2019 8:52 pm
Έστω \alpha>0. Να βρεθεί το μέγιστο της συνάρτησης

\displaystyle{f(x)=\frac{1}{1+|x|} + \frac{1}{1+|x-\alpha|}}
Θα μπορούσε να μπει και στο "Συναρτήσεις - Όρια - Συνέχεια"

Είναι \displaystyle f(0)=f(a)=1+\frac{1}{1+|a|}

Αρκεί να δείξουμε ότι f(x)\leq f(0)

1 περίπτωση.
|x|\geq |a|

η |x-a|\geq |a|.

το συμπέρασμα είναι προφανές.
2 περίπτωση
|x|< |a| και |x-a|<|a|

Επειδή |x|+|x-a|\geq |a| έχουμε |x-a|\geq |a|-|x|

Επειδή (1+|x|)(1+|a|-|x|)=1+|a|+|x|(|a|-|x|)\geq 1+|a|

συμπεραίνουμε ότι

\displaystyle f(x)\leq \frac{1}{1+|x|}+\frac{1}{1+|a|-|x|}=\frac{2+|a|}{(1+|x|)(1+|a|-|x|)}\leq \frac{2+|a|}{1+|a|}=f(0)

Οπως φαίνεται από τα παραπάνω το μόνο που χρειάζεται είναι ιδιότητες της απολύτου τιμής.


Που σημαίνει ότι θα μπορούσε να διατυπωθεί και ως εξης

Εστω X,|| χώρος με νόρμα και a\in X

Να βρεθεί η μέγιστη τιμή της

\displaystyle{f(x)=\frac{1}{1+|x|} + \frac{1}{1+|x-a|}}


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης