Ελάχιστη απόσταση

Συντονιστής: KAKABASBASILEIOS

Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 3954
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη , Παρίσι
Επικοινωνία:

Ελάχιστη απόσταση

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Tolaso J Kos » Κυρ Φεβ 10, 2019 11:09 pm

Να βρεθεί η ελάχιστη απόσταση μεταξύ της παραβολής y=x^2 και της λογαριθμικής y=\ln x.

Βρίσκω \frac{3 \sqrt{2}}{8} αλλά δεν ειμαι σίγουρος . Έχω χρησιμοποιήσει γεωμετρική προσέγγιση!


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}

Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 10684
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Re: Ελάχιστη απόσταση

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Δευ Φεβ 11, 2019 2:32 pm

Ελάχιστη  απόσταση.png
Ελάχιστη απόσταση.png (13.01 KiB) Προβλήθηκε 791 φορές
Το ελάχιστο επιτυγχάνεται για τα σημεία A,B των δύο καμπυλών , στα οποία άγονται

παράλληλες εφαπτόμενες και το AB είναι κάθετο σ' αυτές .

Είναι λοιπόν : 2a=\dfrac{1}{b} και \dfrac{lnb-a^2}{b-a}=-b , το οποίο δίνει

(με χρήση λογισμικού : b=0.9290784 και επομένως : (AB)_{min}=0.53359 .

Η τιμή που προτείνει ο Αποστόλης είναι περίπου 0,53033 και πιθανότατα δεν μπορεί να πιασθεί .


ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 2512
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Ελάχιστη απόσταση

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Δευ Φεβ 11, 2019 3:50 pm

KARKAR έγραψε:
Δευ Φεβ 11, 2019 2:32 pm
Ελάχιστη απόσταση.pngΤο ελάχιστο επιτυγχάνεται για τα σημεία A,B των δύο καμπυλών , στα οποία άγονται

παράλληλες εφαπτόμενες και το AB είναι κάθετο σ' αυτές .

Είναι λοιπόν : 2a=\dfrac{1}{b} και \dfrac{lnb-a^2}{b-a}=-b , το οποίο δίνει

(με χρήση λογισμικού : b=0.9290784 και επομένως : (AB)_{min}=0.53359 .

Η τιμή που προτείνει ο Αποστόλης είναι περίπου 0,53033 και πιθανότατα δεν μπορεί να πιασθεί .


Από που προκύπτει αυτό ;
KARKAR έγραψε:
Δευ Φεβ 11, 2019 2:32 pm
Ελάχιστη απόσταση.pngΤο ελάχιστο επιτυγχάνεται για τα σημεία A,B των δύο καμπυλών , στα οποία άγονται

παράλληλες εφαπτόμενες και το AB είναι κάθετο σ' αυτές .
Επίσης τι θα πει με λογισμικό;
Ειδικά σε αυτόν το φάκελο.


Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 3954
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη , Παρίσι
Επικοινωνία:

Re: Ελάχιστη απόσταση

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Tolaso J Kos » Δευ Φεβ 11, 2019 8:21 pm

Δεν έχω απάντηση για την άσκηση . Την άσκηση την πέτυχα στο Μαθηματικό Εργαστήρι και τη μετέφερα εδώ. Με μία γρήγορη απόπειρα ( αποτυχημένη όπως αποδείχθηκε ) βρήκα ότι η ελάχιστη απόσταση είναι \frac{3\sqrt{2}}{8} αλλά δεν είναι όπως φαίνεται.


Θανάση , όπως φαίνεται η άσκηση μάλλον δε λύνεται με το χέρι και πρέπει να καταφύγουμε σε λογισμικό. :(


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}
Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 10684
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Re: Ελάχιστη απόσταση

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Δευ Φεβ 11, 2019 9:06 pm

Για το κύριο ερώτημα του Σταύρου , ας αντλήσουμε ιδέες από : εδώ , εδώ και εδώ .

Για τη χρήση λογισμικού : Αναπόφευκτη , αν η προκύπτουσα εξίσωση ( εδώ η :

4b^2lnb=1+2b^2-4b^4 ) , δεν είναι δυνατόν να αντιμετωπισθεί με σχολική ύλη .

Διόρθωσα την εξίσωση , της οποίας όμως η λύση στην αρχική ανάρτηση είναι σωστή . Ευχαριστώ Γιώργο !
τελευταία επεξεργασία από KARKAR σε Τρί Φεβ 12, 2019 2:55 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


Άβαταρ μέλους
gbaloglou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2651
Εγγραφή: Παρ Φεβ 27, 2009 10:24 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονικη
Επικοινωνία:

Re: Ελάχιστη απόσταση

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από gbaloglou » Τρί Φεβ 12, 2019 2:37 pm

KARKAR έγραψε:
Δευ Φεβ 11, 2019 9:06 pm
Για το κύριο ερώτημα του Σταύρου , ας αντλήσουμε ιδέες από : εδώ , εδώ και εδώ .

Για τη χρήση λογισμικού : Αναπόφευκτη , αν η προκύπτουσα εξίσωση ( εδώ η :

2b^2lnb=1-b^2 ) , δεν είναι δυνατόν να αντιμετωπισθεί με σχολική ύλη .
Η σωστή εξίσωση είναι η 4b^2lnb=1+2b^2-4b^4.


Γιώργος Μπαλόγλου -- κρυσταλλογράφω άρα υπάρχω

Ὁρᾷς, τὸ κάλλος ὅσσον ἐστὶ τῆς λίθου, ἐν ταῖς ἀτάκτοις τῶν φλεβῶν εὐταξίαις. -- Παλατινή Ανθολογία 9.695 -- Ιδού του πετραδιού η άμετρη ομορφιά, μεσ' των φλεβών τις άναρχες πειθαρχίες.
Άβαταρ μέλους
gbaloglou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2651
Εγγραφή: Παρ Φεβ 27, 2009 10:24 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονικη
Επικοινωνία:

Re: Ελάχιστη απόσταση

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από gbaloglou » Τετ Φεβ 13, 2019 6:45 pm

Ας ... γελάσουμε και λίγο:

Από τις 2a=\dfrac{1}{b} και \dfrac{lnb-a^2}{b-a}=-b συμπεραίνουμε ότι |AB|^2=(a-b)^2(1+b^2)=\dfrac{(1-2b^2)^2(1+b^2)}{4b^2}=f(b), και από την f'(b)=0\leftrightarrow b=\pm\dfrac{1}{\sqrt{2}} προκύπτει ότι η απόσταση AB ελαχιστοποιείται για b=\dfrac{1}{\sqrt{2}}, όπου και ... μηδενίζεται!!!

Μα ... τι πήγε στραβά;! :lol:


Γιώργος Μπαλόγλου -- κρυσταλλογράφω άρα υπάρχω

Ὁρᾷς, τὸ κάλλος ὅσσον ἐστὶ τῆς λίθου, ἐν ταῖς ἀτάκτοις τῶν φλεβῶν εὐταξίαις. -- Παλατινή Ανθολογία 9.695 -- Ιδού του πετραδιού η άμετρη ομορφιά, μεσ' των φλεβών τις άναρχες πειθαρχίες.
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες