πλήθος ριζών

Συντονιστής: KAKABASBASILEIOS

Άβαταρ μέλους
exdx
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1452
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 6:00 pm
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης
Επικοινωνία:

πλήθος ριζών

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από exdx » Σάβ Φεβ 02, 2019 7:11 pm

Έστω η συνάρτηση με τύπο \displaystyle t(x)={{x}^{\frac{1-x}{x}}} , για κάθε \displaystyle x>0
Θεωρούμε τη συνάρτηση \displaystyle f(x)=\left\{ \begin{matrix} 
   {t}(x),\,\,x>0  \\ 
   a,\,\,\,\,\,\,\,\,x=0  \\ 
\end{matrix} \right.
α. Να βρείτε το \displaystyle a\in R ώστε η \displaystyle f να είναι συνεχής στο \displaystyle [0,+\infty )
β. Για \displaystyle a=0, να αποδείξετε ότι η \displaystyle f είναι παραγωγίσιμη στο \displaystyle [0,+\infty )
γ. Να μελετήσετε την \displaystyle fως προς τη μονοτονία και να βρείτε το σύνολο τιμών της .
δ. Να βρείτε το πλήθος των ριζών της εξίσωσης \displaystyle f(x)=k, για κάθε \displaystyle k\in R .


Kαλαθάκης Γιώργης

Λέξεις Κλειδιά:
stranger
Δημοσιεύσεις: 143
Εγγραφή: Δευ Ιαν 14, 2019 6:12 am
Τοποθεσία: United States of America

Re: πλήθος ριζών

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από stranger » Σάβ Φεβ 02, 2019 8:58 pm

Έχουμε t(x)=e^{\frac{1-x}{x}log(x)}.
(a) Τότε \frac{1-x}{x}log(x)\rightarrow -\infty όταν x \rightarrow 0^{+}.
Άρα t(x) \rightarrow 0 όταν x \rightarrow 0^{+}. Άρα η f είναι συνεχής στο 0 αν και μόνο αν a=0.
(b)Επίσης exp(\frac{1-x}{x}log(x)) \frac{1}{x}=exp({\frac{1-x}{x}log(x)-log(x)}) και \frac{1-x}{x}log(x)-log(x) \rightarrow -\infty όταν x \rightarrow 0^{+}. Οπότε η f είναι παραγωγίσιμη στο 0 με f'(0)=0.
(c)Αν x>0 τότε f'(x)=x^{\frac{1-3x}{x}}(1-x-log(x)). Έστω g(x)=1-x-log(x) για x>0.
Παραγωγίζοντας την g εύκολα βλέπουμε ότι είναι γνησίως φθίνουσα στο (0,+\infty). Άρα επειδή g(1)=0 βλέπουμε ότι g(x)<0 για x>1 και g(x)>0 για x<1. Άρα f'(x)<0 για x>1 και f'(x)>0 για x<1. Άρα η f είναι γνησίως αύξουσα στο [0,1] και γνησίως φθίνουσα στο [1,+\infty).
Άρα f([0,1])=[f(0),f(1)]=[0,1]. Επίσης, t(x) \rightarrow -\infty όταν x \rightarrow +\infty.
Άρα f([1,+\infty))=(-\infty,1]. Άρα τελικά f([0,+\infty))=(-\infty,1].
(d) Προφανώς αν k>1 τότε η εξίσωση f(x)=k δεν έχει καμία ρίζα.
Τώρα αν k \in (0,1) τότε προφανώς η εξίσωση f(x)=k έχει ακριβώς δύο ρίζες.
Αν k \in (-\infty,0) τότε υπάρχει μία ακριβώς ρίζα.
Αν k=0 τότε υπάρχουν ακριβώς δύο ρίζες και αν k=1 ακριβώς μία επειδή f(1)=1.


Κωνσταντίνος Σμπώκος
Μαθηματικός
Nothing real can be threatened, nothing unreal exists.
Νίκος Ζαφειρόπουλος
Δημοσιεύσεις: 289
Εγγραφή: Κυρ Απρ 12, 2009 1:06 am
Τοποθεσία: ΖΑΚΥΝΘΟΣ
Επικοινωνία:

Re: πλήθος ριζών

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Νίκος Ζαφειρόπουλος » Κυρ Φεβ 03, 2019 12:27 am

stranger έγραψε:
Σάβ Φεβ 02, 2019 8:58 pm
Έχουμε t(x)=e^{\frac{1-x}{x}log(x)}.
(a) Τότε \frac{1-x}{x}log(x)\rightarrow -\infty όταν x \rightarrow 0^{+}.
Άρα t(x) \rightarrow 0 όταν x \rightarrow 0^{+}. Άρα η f είναι συνεχής στο 0 αν και μόνο αν a=0.
(b)Επίσης exp(\frac{1-x}{x}log(x)) \frac{1}{x}=exp({\frac{1-x}{x}log(x)-log(x)}) και \frac{1-x}{x}log(x)-log(x) \rightarrow -\infty όταν x \rightarrow 0^{+}. Οπότε η f είναι παραγωγίσιμη στο 0 με f'(0)=0.
(c)Αν x>0 τότε f'(x)=x^{\frac{1-3x}{x}}(1-x-log(x)). Έστω g(x)=1-x-log(x) για x>0.
Παραγωγίζοντας την g εύκολα βλέπουμε ότι είναι γνησίως φθίνουσα στο (0,+\infty). Άρα επειδή g(1)=0 βλέπουμε ότι g(x)<0 για x>1 και g(x)>0 για x<1. Άρα f'(x)<0 για x>1 και f'(x)>0 για x<1. Άρα η f είναι γνησίως αύξουσα στο [0,1] και γνησίως φθίνουσα στο [1,+\infty).
Άρα f([0,1])=[f(0),f(1)]=[0,1]. Επίσης, t(x) \rightarrow -\infty όταν x \rightarrow +\infty.
Άρα f([1,+\infty))=(-\infty,1]. Άρα τελικά f([0,+\infty))=(-\infty,1].
(d) Προφανώς αν k>1 τότε η εξίσωση f(x)=k δεν έχει καμία ρίζα.
Τώρα αν k \in (0,1) τότε προφανώς η εξίσωση f(x)=k έχει ακριβώς δύο ρίζες.
Αν k \in (-\infty,0) τότε υπάρχει μία ακριβώς ρίζα.
Αν k=0 τότε υπάρχουν ακριβώς δύο ρίζες και αν k=1 ακριβώς μία επειδή f(1)=1.
Είναι \displaystyle t(x)=e^{\frac{1-x}{x} lnx}
Επειδή, προφανώς, t(x)>0,\forall x >0 δεν θα μπορούσε το όριο της t στο +\infty να είναι -\infty . Το όριο της f στο +\infty είναι 0
και το σύνολο τιμών της f είναι το [0,1].
Η εξίσωση  f(x)=k έχει:
Μία λύση για k=0 και k=1, δύο λύσεις για  k\in (0,1) , ενώ είναι αδύνατη για τις υπόλοιπες τιμές του k.
Και κάτι τελευταίο. Είναι προτιμότερο να ζητείται το πλήθος των διαφορετικών πραγματικών ριζών μιας εξίσωσης, ώστε να μην υπάρχει θέμα με το αν μια ρίζα είναι διπλή κτλ.


stranger
Δημοσιεύσεις: 143
Εγγραφή: Δευ Ιαν 14, 2019 6:12 am
Τοποθεσία: United States of America

Re: πλήθος ριζών

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από stranger » Κυρ Φεβ 03, 2019 2:42 am

Ναι έχεις δίκιο έκανα λάθος από βιασύνη.Είναι t(x) \rightarrow 0 για x \rightarrow +\infty.
Άρα τελικά f([0,+\infty))=[0,1].
Σε ευχαριστώ για την διόρθωση.


Κωνσταντίνος Σμπώκος
Μαθηματικός
Nothing real can be threatened, nothing unreal exists.
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης