Πολυημιτονοειδή μέγιστα

Al.Koutsouridis · #1

Να βρείτε την μέγιστη τιμή της συνάρτησης

$\displaystyle f(x) = \sin (x+\sin x ) + \sin (x-\sin x) + \left (\dfrac{\pi}{2}-2 \right ) \sin \sin x$ .

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #2

Επαναφορά.

#3

Προτείνω

$f(x)=2sinx cos(sinx)+\left ( \dfrac{\pi }{2} -2\right )sin(sinx)$

Μελετάμε την $g(x)=2 xcosx+\left ( \dfrac{\pi }{2}-2 \right )sinx, -1\leq x\leq 1$

'Εχουμε

$g'(x)=-2 xsinx+ \dfrac{\pi }{2}cosx, -1\leq x\leq 1$ με ρίζες $\pm \dfrac{\pi }{4}$ κ.λπ.

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #4

rek2 έγραψε: ↑
Παρ Μάιος 24, 2019 8:25 pm
Προτείνω

$f(x)=2sinx cos(sinx)+\left ( \dfrac{\pi }{2} -2\right )sin(sinx)$

Μελετάμε την $g(x)=2 xcosx+\left ( \dfrac{\pi }{2}-2 \right )sinx, -1\leq x\leq 1$

'Εχουμε

$g'(x)=-2 xsinx+ \dfrac{\pi }{2}cosx, -1\leq x\leq 1$ με ρίζες $\pm \dfrac{\pi }{4}$ κ.λπ.

Το παρακάτω κείμενο βρίσκεται στην αρχική σελίδα του

. Οι απαντήσεις πρέπει να είναι κατά τα δυνατόν πλήρεις να αποφεύγονται οι υποδείξεις και η παράθεση μόνο του αποτελέσματος. Απαντήσεις που έχουν ελλιπή στοιχεία, δίνουν το αποτέλεσμα, περιλαμβάνουν σχόλια για την άσκηση, ενημερωτικές πληροφορίες κτλ χωρίς να παραθέτουν ή να παραπέμπουν στην λύση δημιουργούν σύγχυση και ενδεχομένως αποτρέπουν άλλα μέλη να προσπαθήσουν μία λύση ή να παρουσιάσουν μία λύση που ήδη έχουν ετοιμάσει. Για τους λόγους αυτούς οι τυχόν σχολιασμοί των ασκήσεων καλόν είναι να μπαίνουν αφού δοθεί λύση.

Προφανώς δεν στρέφεται το παραπάνω για σε εσένα μόνο.
Το κάνουν και άλλοι.
Καλό είναι αυτοί που φτιάχνουν τους κανονισμούς να τους τηρούν.

Γιατί και εγώ θα μπορούσα να γράψω
θέτουμε $t=\sin x$ κλπ.

#5

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε: ↑
Παρ Μάιος 24, 2019 9:26 pm

rek2 έγραψε: ↑
Παρ Μάιος 24, 2019 8:25 pm
Προτείνω

$f(x)=2sinx cos(sinx)+\left ( \dfrac{\pi }{2} -2\right )sin(sinx)$

Μελετάμε την $g(x)=2 xcosx+\left ( \dfrac{\pi }{2}-2 \right )sinx, -1\leq x\leq 1$

'Εχουμε

$g'(x)=-2 xsinx+ \dfrac{\pi }{2}cosx, -1\leq x\leq 1$ με ρίζες $\pm \dfrac{\pi }{4}$ κ.λπ.
Το παρακάτω κείμενο βρίσκεται στην αρχική σελίδα του

. Οι απαντήσεις πρέπει να είναι κατά τα δυνατόν πλήρεις να αποφεύγονται οι υποδείξεις και η παράθεση μόνο του αποτελέσματος. Απαντήσεις που έχουν ελλιπή στοιχεία, δίνουν το αποτέλεσμα, περιλαμβάνουν σχόλια για την άσκηση, ενημερωτικές πληροφορίες κτλ χωρίς να παραθέτουν ή να παραπέμπουν στην λύση δημιουργούν σύγχυση και ενδεχομένως αποτρέπουν άλλα μέλη να προσπαθήσουν μία λύση ή να παρουσιάσουν μία λύση που ήδη έχουν ετοιμάσει. Για τους λόγους αυτούς οι τυχόν σχολιασμοί των ασκήσεων καλόν είναι να μπαίνουν αφού δοθεί λύση.

Προφανώς δεν στρέφεται το παραπάνω για σε εσένα μόνο.
Το κάνουν και άλλοι.
Καλό είναι αυτοί που φτιάχνουν τους κανονισμούς να τους τηρούν.

Γιατί και εγώ θα μπορούσα να γράψω
θέτουμε $t=\sin x$ κλπ.

Κατά την δική μου, υποκειμενική, πάντα, αντίληψη,η απάντησή μου παραπέμπει στην λύση...

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #6

rek2 έγραψε: ↑
Παρ Μάιος 24, 2019 9:32 pm

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε: ↑
Παρ Μάιος 24, 2019 9:26 pm

rek2 έγραψε: ↑
Παρ Μάιος 24, 2019 8:25 pm
Προτείνω

$f(x)=2sinx cos(sinx)+\left ( \dfrac{\pi }{2} -2\right )sin(sinx)$

Μελετάμε την $g(x)=2 xcosx+\left ( \dfrac{\pi }{2}-2 \right )sinx, -1\leq x\leq 1$

'Εχουμε

$g'(x)=-2 xsinx+ \dfrac{\pi }{2}cosx, -1\leq x\leq 1$ με ρίζες $\pm \dfrac{\pi }{4}$ κ.λπ.
Το παρακάτω κείμενο βρίσκεται στην αρχική σελίδα του

. Οι απαντήσεις πρέπει να είναι κατά τα δυνατόν πλήρεις να αποφεύγονται οι υποδείξεις και η παράθεση μόνο του αποτελέσματος. Απαντήσεις που έχουν ελλιπή στοιχεία, δίνουν το αποτέλεσμα, περιλαμβάνουν σχόλια για την άσκηση, ενημερωτικές πληροφορίες κτλ χωρίς να παραθέτουν ή να παραπέμπουν στην λύση δημιουργούν σύγχυση και ενδεχομένως αποτρέπουν άλλα μέλη να προσπαθήσουν μία λύση ή να παρουσιάσουν μία λύση που ήδη έχουν ετοιμάσει. Για τους λόγους αυτούς οι τυχόν σχολιασμοί των ασκήσεων καλόν είναι να μπαίνουν αφού δοθεί λύση.

Προφανώς δεν στρέφεται το παραπάνω για σε εσένα μόνο.
Το κάνουν και άλλοι.
Καλό είναι αυτοί που φτιάχνουν τους κανονισμούς να τους τηρούν.

Γιατί και εγώ θα μπορούσα να γράψω
θέτουμε $t=\sin x$ κλπ.
Κατά την δική μου, υποκειμενική, πάντα, αντίληψη,η απάντησή μου παραπέμπει στην λύση...

Κώστα κατά την δική μου άποψη είναι λύση.
Χωρίς λεπτομέριες φυσικά.
Νομίζω όμως ότι κατά τον κανονισμό δεν είναι πλήρης λύση.
Και αυτό λέει ο κανονισμός.
Σε κάθε περίπτωση δεν έφτιαξα εγώ τον κανονισμό.
Δεν μπορεί όμως ο κανονισμός να είναι αλλά καρτ.
Και να σου επαναλάβω ότι αυτό το κάνουν και άλλοι από
τα διευθύνοντα μέλη.
Τα πράγματα είναι απλά.
Μπορείτε να αλλάξετε τον κανονισμό.
Και για να γίνω σαφής
Μπορεί να γραφεί το παραπάνω με προσθήκη
''για θέματα που έχουν μείνει αναπάντητα για 4μήνες (ενα νούμερο βάζω)μπορεί να μπει υπόδειξη''

Al.Koutsouridis · #7

Al.Koutsouridis έγραψε: ↑
Σάβ Ιαν 26, 2019 8:05 pm
Να βρείτε την μέγιστη τιμή της συνάρτησης

$\displaystyle f(x) = \sin (x+\sin x ) + \sin (x-\sin x) + \left (\dfrac{\pi}{2}-2 \right ) \sin \sin x$ .

rek2 έγραψε: ↑
Παρ Μάιος 24, 2019 8:25 pm
Προτείνω

$f(x)=2sinx cos(sinx)+\left ( \dfrac{\pi }{2} -2\right )sin(sinx)$

Μελετάμε την $g(x)=2 xcosx+\left ( \dfrac{\pi }{2}-2 \right )sinx, -1\leq x\leq 1$

'Εχουμε

$g'(x)=-2 xsinx+ \dfrac{\pi }{2}cosx, -1\leq x\leq 1$ με ρίζες $\pm \dfrac{\pi }{4}$ κ.λπ.

Ας το δούμε πιο αναλυτικά...

Από τον τύπο μετασχηματισμού γινόμενου σε άθροισμα (σχολικό βιβλίο Β' Λυκείου ενότητα 3.8), $2\sin a \cos b = \sin (a+b) +\sin (a-b)$ και εφαρμόζοντάς τον αρχική μας συνάρτηση

$f(x) = \sin (x+\sin x ) + \sin (x-\sin x) + \left (\dfrac{\pi}{2}-2 \right ) \sin \sin x$

έχουμε

$f(x)=2\sin x \cdot \cos \sin x + \left ( \dfrac{\pi}{2} -2\right ) \sin \sin x =g( \sin x)$ , όπου

$g(t)=2t \cos t +\left ( \dfrac{\pi}{2} -2\right )\sin t$ , $t = \sin x \in [-1,1]$ .

Παρατηρούμε ότι η συνάρτηση g(t)

είναι περιττή, αρκεί λοιπόν να την μελετήσουμε στο διάστημα [0,1]

. Είναι

$g^{\prime} (t) = -2t \sin t +\dfrac{\pi}{2} \cos t$ .

Η παράγωγος $g^{\prime} (t)$ είναι γνησίως φθίνουσα στο διάστημα [0,1]

. Πράγματι, παρατηρούμε ότι είναι άθροισμα δύο γνησιώς φθίνουσων συναρτήσεων.

$g_{1}(t) = \dfrac{\pi}{2} \cos t$ , αφού το συνημίτονο είναι γνησίως φθίνουσα συνάρτηση στο $[0, \pi/2]$ και $1 < \pi/2$ .

$g_{2}(t)=-2t \sin t$ , για την οποία, για $0< t_{1} < t_{2} < 1$ , έχουμε διαδοχικά (αφού η συνάρτηση ημίτονο είναι γνησίσως άυξουσα στο διάστημα [0,1]

)

$t_{1} < t_{1} \Rightarrow \sin t_{1} < \sin t_{2} \Rightarrow t_{1} \sin t_{1} < t_{2} \sin t_{2} \Rightarrow -2t_{1} \sin t_{1} > 2t_{2} \sin t_{2} \Rightarrow g_{2}(t_{1}) > g_{2}(t_{2})$

Επίσης, παρατηρούμε ότι για $t=\dfrac{\pi}{4}$ , η $g^{\prime}(t)$ μηδενίζεται. Πράγματι

$g^{\prime}\left ( \dfrac{\pi}{4} \right ) = -2 \dfrac{\pi}{4} \sin \dfrac{\pi}{4} +\dfrac{\pi}{2} \cos \dfrac{\pi}{4}= -\dfrac{\pi}{2} \sin \dfrac{\pi}{4} + \dfrac{\pi}{2} \cos \dfrac{\pi}{4} =0$ (αφού $\sin \dfrac{\pi}{4} =\cos \dfrac{\pi}{4}$ ).

Είναι $g^{\prime}\left ( 0 \right ) = \dfrac{\pi}{2} >0$ , επομένως $g^{\prime}\left ( t \right ) > 0$ για $0 \leq t < \dfrac{\pi}{4}$ και $g^{\prime}\left ( t \right ) <0$ για $\dfrac{\pi}{4} < t \leq 1$ .

Οπότε η συνάρτηση g(t)

έχει μοναδικό σημείο μεγίστου στο διάστημα [0,1]

, το $t=\dfrac{\pi}{4}$ . Άρα

$g(t) \leq g \left( \dfrac{\pi}{4} \right ) =2\dfrac{\pi}{4} \dfrac{1}{\sqrt{2}} +\left ( \dfrac{\pi}{2}-2\right) \dfrac{1}{\sqrt{2}} = \dfrac{\pi-2}{\sqrt{2}}$ , για $t \in [0,1]$ .

Λόγω της περιττότητας η g(t)

στο διάστημα [-1,0]

θα είναι συμμετρική της g(t)

του διαστήματος [0,1]

. Δηλαδή θα είναι γνησίως φθίνουσα στο διάστημα $\left ( -\dfrac{\pi}{4}, 0 \right]$ και γνησιώς αύξουσα στο διάστημα $\left [-1, -\dfrac{\pi}{4} \right)$ . Άρα δεν παρουσιάζει μέγιστο στο διάστημα (ανοιχτό) (-1,0)

.

Αρκεί τέλος να εξετάσουμε τι γίνεται στο σημείο t=-1

. Είναι

$g(-1)= \left ( \dfrac{\pi}{2}-2\right ) \sin (-1) -2 \cos (-1) = \left (2- \dfrac{\pi}{2}\right ) \sin 1 -2 \cos 1 < \left (2- \dfrac{\pi}{2}\right ) -2\cos 1$

η τελευταία επειδή sin t < t

για

(Εφαρμογή στα όρια στο σχολικό βιβλίο της Γ' λυκείου). Η τελαυταία με την σειρά είναι

$\left (2- \dfrac{\pi}{2}\right ) -2\cos 1 < 2- \dfrac{\pi}{2} -\cos \dfrac{\pi}{3}$ , αφού $\pi/3 >1$ και η συνάρτηση ημίτονο είναι γνησίως φθίνουσα στο διάστημα $[0, \pi/2]$ . Επομένως έχουμε

$g(-1) < 2- \dfrac{\pi}{2} - \dfrac{1}{2} = \dfrac{4-(\pi+1)}{2} < 0 < g \left ( \dfrac{\pi}{4} \right )$ .

Οπότε η μέγιστη τιμή της συνάντησης g(t)

στο διάστημα [-1,1]

, επομένως και της f(x)

, είναι ίση με $\dfrac{\pi-2}{\sqrt{2}}$ .

Πολυημιτονοειδή μέγιστα

Πολυημιτονοειδή μέγιστα

Re: Πολυημιτονοειδή μέγιστα

Re: Πολυημιτονοειδή μέγιστα

Re: Πολυημιτονοειδή μέγιστα

Re: Πολυημιτονοειδή μέγιστα

Re: Πολυημιτονοειδή μέγιστα

Re: Πολυημιτονοειδή μέγιστα

Μέλη σε σύνδεση