Από Σχολικό

Συντονιστής: KAKABASBASILEIOS

Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 11536
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Από Σχολικό

#21

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Δευ Νοέμ 04, 2019 11:52 pm

Apo.Antonis έγραψε:
Δευ Νοέμ 04, 2019 11:17 pm
Μα τώρα πάλι γράφετε το ίδιο. Χρησιμοποείτε την ισχυρή διατύπωση του θεωρήματος -αν καταλαβαίνω σωστά-
που δεν είναι αυτή που δίνεται στο σχολικό.
Όχι, δεν φαίνεται να κατάλαβες σωστά. Δεν χρησιμοποίησα καθόλου l' Hospital. Ίσα ίσα ισχυρίζομαι ότι για την συγκεκριμένη λύση πρέπει να τον αποφύγουμε.



Λέξεις Κλειδιά:
Apo.Antonis
Δημοσιεύσεις: 14
Εγγραφή: Δευ Απρ 02, 2018 9:52 am

Re: Από Σχολικό

#22

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Apo.Antonis » Τρί Νοέμ 05, 2019 12:15 am

κ.Λάμπρου δεν διαφωνώ ότι πρέπει να το αποφύγουμε. Έχετε εξηγήσει μάλιστα πάρα πολύ καλά.
Αναφέρεστε, αντί του χρησιμοποιείται έπρεπε να γράψω. Το αντιλήφθηκα μετά που υπήρξε απάντηση και δεν έκανα τροποποίηση.

Να το πω αλλιώς:
Το όριο του e^{\beta x} δεν υπολογίζεται σωστά ως μονάδα γιατί όταν \beta = 0 δεν ισχύει ο κανόνας για το όριο σύνθεσης.

Παρά ταύτα, θα επιστρέψω στο l'Hospital. Δεν είναι απαραίτητη η παραγωγισιμότητα των συναρτήσεων.
Είναι πολύ σοβαρό κενό της διατύπωσης και ειλικρινά δεν καταλαβαίνω πως υπάρχει τόσα χρόνια.


Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 11536
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Από Σχολικό

#23

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Τρί Νοέμ 05, 2019 12:22 am

Apo.Antonis έγραψε:
Τρί Νοέμ 05, 2019 12:15 am

Αναφέρεστε, αντί του χρησιμοποιείται έπρεπε να γράψω. Το αντιλήφθηκα μετά που υπήρξε απάντηση και δεν έκανα τροποποίηση.
Ευχαριστώ για την διευκρίνηση. Όλα καλά.


ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 2684
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Από Σχολικό

#24

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Τρί Νοέμ 05, 2019 5:30 pm

Λάμπρος Κατσάπας έγραψε:
Παρ Ιαν 25, 2019 10:58 am
Στην εικόνα φαίνεται η άσκηση 3 σελ.168 παράγραφος 2.9 και η λύση που δίνει το λυσάρι. Εντοπίζετε κάποιο προβληματικό σημείο στη λύση;
Η προσωπική μου άποψη είναι ότι η λύση δεν παρουσιάζει κανένα πρόβλημα.


Άβαταρ μέλους
Al.Koutsouridis
Δημοσιεύσεις: 993
Εγγραφή: Πέμ Ιαν 30, 2014 11:58 pm
Τοποθεσία: Αθήνα

Re: Από Σχολικό

#25

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Al.Koutsouridis » Τρί Νοέμ 05, 2019 8:33 pm

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε:
Τρί Νοέμ 05, 2019 5:30 pm
Λάμπρος Κατσάπας έγραψε:
Παρ Ιαν 25, 2019 10:58 am
Στην εικόνα φαίνεται η άσκηση 3 σελ.168 παράγραφος 2.9 και η λύση που δίνει το λυσάρι. Εντοπίζετε κάποιο προβληματικό σημείο στη λύση;
Η προσωπική μου άποψη είναι ότι η λύση δεν παρουσιάζει κανένα πρόβλημα.
Τείνω προς αυτή την άποψη.

Χωρίς να έχω μελετήσει το θέμα ενδελεχώς νομίζω πως το παιδαγωγικό, διδακτικό νόημα της άσκησης δεν είναι η εύρεση παραγώγου με τον ορισμό. Αλλά η έννοια της «λείας» συγκόλλησης δυο γραφικών παραστάσεων. Σε αυτό το πλαίσιο το πως θα κινηθούμε προς τα εκεί είναι αδιάφορο για το πρόβλημα.

Ο μαθητής καλείται να εξοικειωθεί γεωμετρικά και τεχνικά με την παραπάνω έννοια παίζοντας με κάποιες παραμέτρους. Από καθαρά μαθηματικής άποψης μπορεί να του χρειαστεί για κάποιο παράδειγμα ή αντιπαράδειγμα ή θεωρητική μελέτη ιδιοτήτων συναρτήσεων, διαφορικών εξισώσεων κτλ. Από πρακτικής άποψης μπορεί να εκφράζει για παράδειγμα ένα μέγεθος που είναι διέγερση σε ένα ελεγκτή και θέλουμε να αλλάξουμε την διέγερση (από την μορφή της μιας συνάρτησης στην άλλη), αλλά για κάποιο λόγο με συνεχή τρόπο, δηλαδή η «ταχύτητα» να μη κάνει άλματα σε αυτή την αλλαγή. Σαν να έχουμε δυο περιστροφικούς διακόπτες για τα a και b και να θέλουμε να τους γυρίσουμε στις κατάλληλες θέσεις για να το επιτύχουμε.


Μάρκος Βασίλης
Δημοσιεύσεις: 86
Εγγραφή: Σάβ Αύγ 31, 2019 5:47 pm
Τοποθεσία: Καισαριανή
Επικοινωνία:

Re: Από Σχολικό

#26

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μάρκος Βασίλης » Τρί Νοέμ 05, 2019 9:49 pm

Mihalis_Lambrou έγραψε:
Δευ Νοέμ 04, 2019 9:49 pm
Mihalis_Lambrou έγραψε:
Κυρ Νοέμ 03, 2019 5:36 pm
Παρ' όλο που έχω ήδη απαντήσει με το αρχικό μου ποστ, ας επανέλθω.

Δεν είπα ότι αν b=0, x>0 τότε η ισότητα οι ισότητα \frac {f(x)-f(0)}{x-0}  = \frac {1-1}{x-0} είναι λάθος. Είπα ότι ΠΡΕΠΕΙ ΝΑ ΓΙΝΕΙ ΧΩΡΙΣΤΑ (η έμφαση είναι "πρέπει"). Εξηγούμαι, η λύση γράφει \frac {f(x)-f(0)}{x-0}  = \frac {e^{bx}-1}{x-0} .

Τυχαίνει ότι στην περίπτωση b=0 τα δύο να είναι ίσα. Όμως είναι μέρος της λύσης (και άρα κενό του λύτη) να πει ότι εδώ (στην χωριστή περίπτωση) είναι e^{bx}=1 οπότε έχουμε δικαίωμα να γράψουμε το παραπάνω.
Μου δίνεται λοιπόν η ευκαιρία να αναλύσω ένα λεπτό σημείο.

Η λύση του βιβλίου προχωρά από τους ορισμούς (το ότι αργότερα κάνει το λάθος να χρησιμοποιήσει την παραγωγισιμότητα μέσα στον l' Hospital, είναι ένα επιπρόσθετο ατυχές βήμα). Ας δούμε λοιπόν τι τρέχει πηγαίνοντας και εμείς από τους ορισμούς. Aκολουθώ τα βήματα του βιβλίου, πλην την κυκλική χρήση του l' Hospital.

Θέλουμε να βρούμε το όριο στο 0 του \frac {f(x)-f(0)}{x-0}  = \frac {e^{bx} -1}{x-0} . Λέμε λοιπόν

\displaystyle{\dfrac {e^{bx} -1}{x-0}= b \cdot \frac {e^{bx} -1}{bx-0}  \, (*)} δηλαδή, γράφοντας y=bx, είναι b \cdot \dfrac {e^{y} -1}{y-0} . Το τελευταίο, με y\to 0 το αναγνωρίζουμε ως την παράγωγο της e^y στο 0, δηλαδή 1.

Σωστά;

Όχι ακριβώς. Αν κοιτάξουμε την (*) για b=0 έχουμε γράψει 0 \cdot \frac {e^{0} -1}{0-0}  \, (**).

Όλοι θα συμφωνήσουμε ότι το (**) είναι προβληματικό. Με απλά λόγια πρέπει να εξετάσουμε την περίπτωση b=0 χωριστά.

Και αυτό κάνουμε όταν πάμε να βρούμε την παράγωγο της e^{bx}, για να καταλήξουμε ότι ισούται με be^{bx}. Για b\ne 0, το κάναμε. Για b=0 κάνουμε άλλη πορεία λέγοντας ότι τότε (θα είμαι επίτηδες αναλυτικός παρ' όλο το τετριμμένο του βήματος) είναι f(x)= e^{0x} =1 άρα \frac {f(x)-f(0)}{x-0}  = \frac {1-1}{x-0} \to 0 . Παρατηρούμε σε αυτό το σημείο ότι το αποτέλεσμα που βρήκαμε, δηλαδή ( e^{bx})'= b e^{bx} για b\ne 0 εξακολουθεί να ισχύει και για b=0. Με άλλα λόγια, δείξαμε ( e^{bx})'= b e^{bx} είτε b\ne 0 ή b=0. Δηλαδή γράφουμε ( e^{bx})'= b e^{bx} (χωρίς περιορισμό για το b).

Αυτό ήταν όλο, γι' αυτό λέω ότι η περίπτωση b=0 πρέπει να γίνει χωριστά. Εν κατακλείδι, ισχύει αυτό που πάντα ξέραμε αλλά για να ακριβολογήσουμε πρέπει να προσέξουμε το μικρό κενό στην πορεία της απόδειξης.

(Υπάρχουν και άλλες πορείες για να βρούμε την παράγωγο της e^{bx}, οι οποίες παρακάμπτουν την ανάγκη χωριστής μελέτης της περίπτωσης b=0 - ξέρω τουλάχιστον οκτώ τέτοιους τρόπους. Όμως έχω την συγκεκριμένη πορεία γιατί αυτήν ακολουθεί η συγκεκριμένη λύση του βιβλίου).
Δεκτή αυτή η οπτική - ευχαριστώ και για την αναλυτική απάντηση, παρεμπιπτόντως - αλλά να εκθέσω κι εγώ ένα άλλο σκεπτικό που "νομιμοποιεί" τη χρήση του βιβλίου.

Αρχικά, ας πάρουμε ως δεδομένη την παραγωγισιμότητα της e^x στο \mathbb{R} και, ειδικότερα, στο (0,+\infty). Αυτό είναι από τα πράγματα που, με βάση το σχολικό βιβλίο, θεωρούνται γνωστά. Τώρα, από τον κανόνα της αλυσίδας, η συνάρτηση e^{\beta x} είναι παραγωγίσιμη στο (0,+\infty) ως σύνθεση παραγωγίσιμων συναρτήσεων και η συνάρτηση e^{\beta x}-1 είναι επίσης παραγωγίσιμη στο (0,+\infty) ως διαφορά παραγωγίσιμων συναρτήσεων. Επομένως, μπορούμε κάλλιστα να εφαρμόσουμε τον κανόνα του de L'Hospital χωρίς ενδοιασμούς.

Για να γίνω σαφέστερος, αφού μας ζητείται αποκλειστικά και μόνο η παραγωγισιμότητα της f στο x_0=0 και πουθενά αλλού μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε την παραγωγισιμότητα της f οπουδήποτε αλλού, δεδομένου ότι η παραγωγισιμότητα της f οπουδήποτε αλλού δεν εξαρτάται από την παραγωγισιμότητα στο x_0=0 στην προκειμένη περίπτωση!

Έτσι, δεν υπάρχει ουσιώδης κυκλικότητα στο επιχείρημα για να θέλουμε να αποφύγουμε τον de l' Hospital, άρα δεν τίθεται ζήτημα να καταφύγουμε στο τέχνασμα του πολλαπλασιασμού/διαίρεσης με \beta που γεννά την ανάγκη να πάρουμε χώρια την περίπτωση \beta=0. Μια χαρά είναι το βιβλίο σε αυτό το σημείο, τελικά.


\textcolor{blue}{\forall after-maths}
Apo.Antonis
Δημοσιεύσεις: 14
Εγγραφή: Δευ Απρ 02, 2018 9:52 am

Re: Από Σχολικό

#27

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Apo.Antonis » Τρί Νοέμ 05, 2019 11:17 pm

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε:
Δευ Νοέμ 04, 2019 9:53 pm
Θα ήμουν ευτυχής αν κάποιος μου έλεγε που είναι το λάθος στο
παρακάτω .
Εστω b\in \mathbb{R}

Είναι

\lim_{x\rightarrow 0^{+}}\dfrac{e^{bx}-1}{x}=^{\frac{0}{0}}\lim_{x\rightarrow 0^{+}}\dfrac{(e^{bx}-1)'}{(x)'}=\lim_{x\rightarrow 0^{+}}\dfrac{be^{bx}}{1}=b
έχουμε να υπολογίσουμε το όριο
\displaystyle{\lim_{x\to 0^{+}}{e^{\beta x}}}

ως σύνθεση θέτουμε u=\beta x με \displaystyle{u_0 = \lim_{x\to 0^{+}}{\beta x}= 0}
αυτή η αλλαγή μεταβλητής γίνεται υπό την προϋπόθεση ότι \beta \neq 0

Δεν κάνουμε περιορισμούς αφού το βιβλίο αναφέρει πως τέτοιες περιπτώσεις δεν θα εξετάσουμε.


ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 2684
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Από Σχολικό

#28

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Τρί Νοέμ 05, 2019 11:30 pm

Apo.Antonis έγραψε:
Τρί Νοέμ 05, 2019 11:17 pm
ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε:
Δευ Νοέμ 04, 2019 9:53 pm
Θα ήμουν ευτυχής αν κάποιος μου έλεγε που είναι το λάθος στο
παρακάτω .
Εστω b\in \mathbb{R}

Είναι

\lim_{x\rightarrow 0^{+}}\dfrac{e^{bx}-1}{x}=^{\frac{0}{0}}\lim_{x\rightarrow 0^{+}}\dfrac{(e^{bx}-1)'}{(x)'}=\lim_{x\rightarrow 0^{+}}\dfrac{be^{bx}}{1}=b
έχουμε να υπολογίσουμε το όριο
\displaystyle{\lim_{x\to 0^{+}}{e^{\beta x}}}

ως σύνθεση θέτουμε u=\beta x με \displaystyle{u_0 = \lim_{x\to 0^{+}}{\beta x}= 0}
αυτή η αλλαγή μεταβλητής γίνεται υπό την προϋπόθεση ότι \beta \neq 0

Δεν κάνουμε περιορισμούς αφού το βιβλίο αναφέρει πως τέτοιες περιπτώσεις δεν θα εξετάσουμε.
Εγραψα κάτι τέτοιο;

Εγω έγραψα ότι για b\in \mathbb{R}
είναι
\displaystyle{\lim_{x\to 0^{+}}{e^{b x}}}=1

Η ερώτηση είναι αν είναι σωστό η λάθος.
Το πως το σκέφτηκα και πως δικαιολογείτε είναι άλλου Παππά Ευαγγέλιο.


Μάρκος Βασίλης
Δημοσιεύσεις: 86
Εγγραφή: Σάβ Αύγ 31, 2019 5:47 pm
Τοποθεσία: Καισαριανή
Επικοινωνία:

Re: Από Σχολικό

#29

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μάρκος Βασίλης » Τετ Νοέμ 06, 2019 10:26 am

Apo.Antonis έγραψε:
Τρί Νοέμ 05, 2019 11:17 pm
ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε:
Δευ Νοέμ 04, 2019 9:53 pm
Θα ήμουν ευτυχής αν κάποιος μου έλεγε που είναι το λάθος στο
παρακάτω .
Εστω b\in \mathbb{R}

Είναι

\lim_{x\rightarrow 0^{+}}\dfrac{e^{bx}-1}{x}=^{\frac{0}{0}}\lim_{x\rightarrow 0^{+}}\dfrac{(e^{bx}-1)'}{(x)'}=\lim_{x\rightarrow 0^{+}}\dfrac{be^{bx}}{1}=b
έχουμε να υπολογίσουμε το όριο
\displaystyle{\lim_{x\to 0^{+}}{e^{\beta x}}}

ως σύνθεση θέτουμε u=\beta x με \displaystyle{u_0 = \lim_{x\to 0^{+}}{\beta x}= 0}
αυτή η αλλαγή μεταβλητής γίνεται υπό την προϋπόθεση ότι \beta \neq 0

Δεν κάνουμε περιορισμούς αφού το βιβλίο αναφέρει πως τέτοιες περιπτώσεις δεν θα εξετάσουμε.
Δεν σε αναγκάζει κανείς να κάνεις αλλαγή μεταβλητής. Αντιθέτως, η αλλαγή μεταβλητής σε «υποχρεώνει» να πάρεις ξεχωριστά αυτήν την περίπτωση!

Δες, π.χ. το παραπάνω σκεπτικό που παρέθεσα ή απλώς την ιδέα του κου. Παπαδόπουλου.


\textcolor{blue}{\forall after-maths}
Άβαταρ μέλους
Christos.N
Δημοσιεύσεις: 1709
Εγγραφή: Πέμ Νοέμ 26, 2009 2:28 pm
Τοποθεσία: Ίλιον

Re: Από Σχολικό

#30

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Christos.N » Τετ Νοέμ 06, 2019 12:04 pm

Apo.Antonis έγραψε:
Δευ Νοέμ 04, 2019 11:37 pm
Ο κανόνας δεν ισχύει για συναρτήσεις οι οποίες έχουν ένα μόνο σταθερό όριο (και έτσι συμπεριλαμβάνεται και η σταθερή συνάρτηση)
Δεν ισχύει κάτι τέτοιο , ο κανόνας-σε ένα καλά ορισμένο όριο- εφαρμόζεται αρκεί τα όρια του αριθμητή και παρανομαστή να τείνουν στο μηδέν (τετριμμένα η σταθερή συνάρτηση έχει αυτήν την ιδιότητα) να είναι παραγωγίσιμες και τα όρια των παραγώγων να υπάρχουν καθ'αυτά.


Χρήστος Ντάβας
Wir müssen wissen — wir werden wissen! D.Hilbert
Apo.Antonis
Δημοσιεύσεις: 14
Εγγραφή: Δευ Απρ 02, 2018 9:52 am

Re: Από Σχολικό

#31

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Apo.Antonis » Τετ Νοέμ 06, 2019 12:47 pm

Μάρκος Βασίλης έγραψε:
Τετ Νοέμ 06, 2019 10:26 am

Δες, π.χ. το παραπάνω σκεπτικό που παρέθεσα ή απλώς την ιδέα του κου. Παπαδόπουλου.
Η ιδέα σας προϋποθέτει και αυτή τον υπολογισμό του ορίου, δεν έχετε εξηγήσει -όπως και ο κ.Παπαδόπουλος- πως γίνεται ο υπολογισμός.
Ο κ.Λάμπρου έδωσε λύση.
Christos.N έγραψε:
Τετ Νοέμ 06, 2019 12:04 pm


Apo.Antonis έγραψε:
Δευ Νοέμ 04, 2019 11:37 pm
Ο κανόνας δεν ισχύει για συναρτήσεις οι οποίες έχουν ένα μόνο σταθερό όριο (και έτσι συμπεριλαμβάνεται και η σταθερή συνάρτηση)
Δεν ισχύει κάτι τέτοιο , ο κανόνας-σε ένα καλά ορισμένο όριο- εφαρμόζεται αρκεί τα όρια του αριθμητή και παρανομαστή να τείνουν στο μηδέν (τετριμμένα η σταθερή συνάρτηση έχει αυτήν την ιδιότητα) να είναι παραγωγίσιμες και τα όρια των παραγώγων να υπάρχουν καθ'αυτά.
Τώρα λίγο μπερδευτήκαμε μάλλον, εγώ περισσότερο. Ναι γενικά απαιτείται να είναι παραγωγίσιμες σε διάστημα οι συναρτήσεις και το x_0 να είναι εσωτερικό του διαστήματος (στο οποίο ορίζεται η συνάρτηση, όχι η συνάρτηση παράγωγος). Αυτά όμως δεν υπάρχουν στο βιβλίο.
Σε τι αναφέρεστε εσείς; edit: σε περίπτωση που το ξαναδιαβάσει κανείς, το υπογραμμισμένο είναι λάθος.
τελευταία επεξεργασία από Apo.Antonis σε Σάβ Νοέμ 09, 2019 9:27 pm, έχει επεξεργασθεί 2 φορές συνολικά.


Μάρκος Βασίλης
Δημοσιεύσεις: 86
Εγγραφή: Σάβ Αύγ 31, 2019 5:47 pm
Τοποθεσία: Καισαριανή
Επικοινωνία:

Re: Από Σχολικό

#32

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μάρκος Βασίλης » Τετ Νοέμ 06, 2019 1:59 pm

Apo.Antonis έγραψε:
Τετ Νοέμ 06, 2019 12:47 pm

Η ιδέα σας προϋποθέτει και αυτή τον υπολογισμό του ορίου, δεν έχετε εξηγήσει -όπως και ο κ.Παπαδόπουλος- πως γίνεται ο υπολογισμός.
Ο κ.Λάμπρου έδωσε λύση.
Νομίζω ότι έχει γίνει ένα μπέρδεμα. Ο υπολογισμός του ορίου γίνεται ακριβώς όπως τον παρουσιάζει ο κ. Παπαδόπουλος, με χρήση του κανόνα de l' Hospital, οπότε, στο τελευταίο βήμα που φαίνεται να χρειάζεται να γίνει αλλαγή μεταβλητής, μπορείς να την παρακάμψεις ως (e^b)^x που, για b=0 δίνει τη σταθερή συνάρτηση 1=1^χ η οποία στα πλαίσια του σχολικού βιβλίου δε θεωρείται εκθετική.

Οπότε, η αλλαγή μεταβλητής δεν είναι καθόλου απαραίτητη.

Υ.Γ. 1: Μπορώ, ωστόσο, να καταλάβω, γιατί από διδακτικής πλευράς θα θέλαμε να ξεχωρίσουμε την περίπτωση b=0.

Υ.Γ. 2: Για να νομιμοποιήσω λίγο παραπάνω την παραπάνω χρήση του κανόνα του l'Hospital, μπορούμε εύκολα με χρήση του να αποδείξουμε το εξής πόρισμα:
Αν f είναι μία συνάρτηση παραγωγίσιμη σε ένα ανοικτό διάστημα που περιέχει το x_0 με την f να είναι παραγωγίσιμη σε αυτό το διάστημα, εκτός ίσως από το x_0 και, επιπλέον, το όριο \lim\limits_{x\to x_0}f'(x) υπάρχει και είναι αριθμός σε αυτό το διάστημα τότε η f είναι παραγωγίσιμη στο x_0 και, μάλιστα:

f'(x_0)=\lim\limits_{x\to x_0}f'(x).
Το παραπάνω είναι ακριβώς αυτό που κάνουμε από τα «δεξιά» του x_0=0. Με βάση την παραγωγισιμότητα εκεί, παίρνουμε και την παραγωγισιμότητα στο 0.
τελευταία επεξεργασία από Μάρκος Βασίλης σε Τετ Νοέμ 06, 2019 5:32 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


\textcolor{blue}{\forall after-maths}
Άβαταρ μέλους
Christos.N
Δημοσιεύσεις: 1709
Εγγραφή: Πέμ Νοέμ 26, 2009 2:28 pm
Τοποθεσία: Ίλιον

Re: Από Σχολικό

#33

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Christos.N » Τετ Νοέμ 06, 2019 2:22 pm

Apo.Antonis έγραψε:
Τετ Νοέμ 06, 2019 12:47 pm
Ναι γενικά απαιτείται να είναι παραγωγίσιμες σε διάστημα οι συναρτήσεις και το x_0 να είναι εσωτερικό του διαστήματος (edit: στο οποίο ορίζεται η συνάρτηση, όχι η συνάρτηση παράγωγος). Αυτά όμως δεν υπάρχουν στο βιβλίο. Σε τι αναφέρεστε εσείς;
Σας παραθέτω λοιπόν
DeepinScreenshot_select-area_20191106135454.png
DeepinScreenshot_select-area_20191106135454.png (20.93 KiB) Προβλήθηκε 420 φορές
DeepinScreenshot_select-area_20191106135527.png
DeepinScreenshot_select-area_20191106135527.png (17.33 KiB) Προβλήθηκε 420 φορές

Ούτε το x_0 πρέπει να είναι εσωτερικό του διαστήματος , ούτε σε διάστημα παρά σε (δακτυλική) περιοχή (όπως το παραθέτει το βιβλίο σε προηγούμενη παράγραφο που δίνει (μάλλον περιγράφει) τον ορισμό του ορίου και τελικά υπάρχουν όλα στο βιβλίο.

Συμπερασματικά το βιβλίο στην απόδειξη του συμπυκνώνει το πολύ σωστό συμπέρασμα ότι :
ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε:
Δευ Νοέμ 04, 2019 9:53 pm
\lim_{x\rightarrow 0^{+}}\dfrac{e^{bx}-1}{x}=^{\frac{0}{0}}\lim_{x\rightarrow 0^{+}}\dfrac{(e^{bx}-1)'}{(x)'}=\lim_{x\rightarrow 0^{+}}\dfrac{be^{bx}}{1}=b
Αν υπάρχει κάτι μεμπτό τότε αυτό οφείλεται στο "αυστηρά" εκπαιδευτικό πλαίσιο : Παραγωγίζουμε μια συνάρτηση ως σύνθεση εκθετικής ενώ είναι σταθερή. Όχι όμως σε λανθασμένη εφαρμογή του κανόνα De L' Hospital .

Εν τούτοις πρέπει να παραδεχτούμε ότι τελικά αν f(x)=e^{bx},b\in \mathb R τότε
\displaystyle{f'(x)=\left\{\begin{matrix}be^{bx& , & b\in \mathb R^* \\  0 & , & b=0 \end{matrix}\right.} ,x \in \mathb R δηλαδή σε κάθε περίπτωση ως προς b καταλήγουμε ότι f'(x)=b e^{bx}, b\in \mathb R, x\in \mathb R


Χρήστος Ντάβας
Wir müssen wissen — wir werden wissen! D.Hilbert
Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 10928
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Re: Από Σχολικό

#34

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Τετ Νοέμ 06, 2019 2:24 pm

Παρακολουθήστε έναν σχετικό διάλογο που είχε γίνει πολύ παλιότερα εδώ


Άβαταρ μέλους
chris_gatos
Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 6821
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 9:03 pm
Τοποθεσία: Πειραιάς

Re: Από Σχολικό

#35

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από chris_gatos » Σάβ Νοέμ 09, 2019 8:09 pm

Καλησπέρα!
Θα απαντήσω ως Χρήστος με κάθε ειλικρίνεια.
Δε νομίζω πως έχουμε να κάνουμε κάποια προσθήκη σε όσα έχουμε ήδη πει για δύο λόγους.
1. Θα ήταν κουραστικό να επαναληφθούν όσα λέμε στο κείμενό μας από τη στιγμή που τα θεωρούμε σαφή.
2. Όταν έχει μιλήσει και εκφραστεί ο Μιχάλης Λάμπρου τόσο αναλυτικά και εκτεταμένα νομίζω πως μόνο φλυαρία θα προσθέταμε.
Μένουμε σε όσα έχουμε ήδη γράψει.
Ευχαριστούμε για το ενδιαφέρον και για την κουβέντα που προκαλέσατε.
Η θέση μας παραμένει η ίδια.


Χρήστος Κυριαζής
Άβαταρ μέλους
Πρωτοπαπάς Λευτέρης
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2812
Εγγραφή: Τετ Οκτ 14, 2009 12:20 am
Τοποθεσία: Πετρούπολη, Αθήνα
Επικοινωνία:

Re: Από Σχολικό

#36

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Πρωτοπαπάς Λευτέρης » Κυρ Νοέμ 10, 2019 10:24 am

Καλημέρα σε όλους.

Διάβασα με προσοχή αυτό τον καταιγισμό δημοσιεύσεων.

Ειλικρινά δεν μπορώ να καταλάβω ποιο είναι το πρόβλημα.

Η συνάρτηση f μπορεί να έχει δύο μορφές: \displaystyle{f(x)=\begin{cases} \eta \mu x + a & x \leq 0 \\ e^{bx} & x>0\end{cases}, b \neq 0}
ή
\displaystyle{f(x)=\begin{cases} \eta \mu x + a& x  \leq 0 \\ 1 & x>0\end{cases}.}

Ο έλεγχος της παραγωγισιμότητας γίνεται με τον ίδιο τρόπο και για τις δύο περιπτώσεις;

Αφού απαιτήσουμε τη συνέχεια στο 0, θα βρούμε a=1, οπότε οι συναρτήσεις γίνονται:
\displaystyle{f(x)=\begin{cases} \eta \mu x + 1 & x  \leq 0 \\ e^{bx} & x > 0\end{cases}, b \neq 0}
ή
\displaystyle{f(x)=\begin{cases} \eta \mu x + 1 & x  \leq 0 \\ 1 &  x> 0 \end{cases}.}

Ο έλεγχος της παραγωγισιμότητας για την πρώτη περίπτωση συνάρτησης έμπεριέχει το εξής βήμα:
\displaystyle{\lim_{x \rightarrow 0^+}\frac{f(x)-f(0)}{x-0}=\lim_{x \rightarrow 0^+}\frac{e^{bx}-1}{x}}
όπου η εφαρμογή του θ. De L' Hospital οδηγεί σε παράγωγο εκθετικής συνάρτησης (ή σύνθεση εκθετικής πολυωνυμικής, ανάλογα με τη θεώρηση).

Στη δεύτερη έχουμε ότι:
\displaystyle{\lim_{x \rightarrow 0^+}\frac{f(x)-f(0)}{x-0}=\lim_{x \rightarrow 0^+}\frac{1-1}{x}=\lim_{x \rightarrow 0^+}\frac{0}{x}.}

Στο σημείο αυτό υπάρχουν δύο ενδεχόμενα:
1) Να κάνεις το εύκολο: Να δεις ότι ο αριθμητής ισούται με μηδέν, άρα \displaystyle{\lim_{x \rightarrow 0^+}\frac{f(x)-f(0)}{x-0}=0,}
ή
2) Να κάνεις το δύσκολο: Να πεις ότι είναι 0/0 και να εφαρμόσεις το θ. De L' Hospital χρησιμοποιώντας παράγωγο σταθερής συνάρτησης γράφοντας
\displaystyle{\lim_{x \rightarrow 0^+}\frac{f(x)-f(0)}{x-0}=\lim_{x \rightarrow 0^+}\frac{0}{1}=0.}

Αυτό που είπαμε και λέμε είναι ότι ο μαθητής με το τρόπο που αναπτύσσεται η λύση στις επίσημες λύσεις του σχολικού είναι ΙΣΟΠΕΔΩΤΙΚΟΣ. Παραγωγίζει εκθετική αντί σταθερή. Αυτό δεν συνιστά σύνοψη λύση, αλλά ισοπέδωση ...

Υ.Γ.1. Εδώ να πω ότι θα συμφωνήσω με τον Χρήστο: Όταν ο Μιχάλης Λάμπρου εκφράζει την άποψή του για κάτι, καλό είναι να σκεφτόμαστε πολλές φορές πριν πούμε κάτι διαφορετικό...
Υ.Γ.2. Όσοι έχουν κάνει εργασία για συνέδριο της ΕΜΕ γνωρίζουν ότι υπάρχει περιορισμός στις 10 σελίδες. Οφείλεις λοιπόν να εκτιμήσεις τι θα βάλεις, τι θα είναι σύντομο και πόσο σύντομο. Στις 10 σελίδες λοιπόν οφείλουμε να είμαστε συνοπτικοί και ουσιώδεις.


Κάθε πρόβλημα έχει μία τουλάχιστον λύση!!!
ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 2684
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Από Σχολικό

#37

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Δευ Νοέμ 11, 2019 9:22 pm

Πρωτοπαπάς Λευτέρης έγραψε:
Κυρ Νοέμ 10, 2019 10:24 am
Καλημέρα σε όλους.

Διάβασα με προσοχή αυτό τον καταιγισμό δημοσιεύσεων.

Ειλικρινά δεν μπορώ να καταλάβω ποιο είναι το πρόβλημα.

Η συνάρτηση f μπορεί να έχει δύο μορφές: \displaystyle{f(x)=\begin{cases} \eta \mu x + a & x \leq 0 \\ e^{bx} & x>0\end{cases}, b \neq 0}
ή
\displaystyle{f(x)=\begin{cases} \eta \mu x + a& x  \leq 0 \\ 1 & x>0\end{cases}.}

Ο έλεγχος της παραγωγισιμότητας γίνεται με τον ίδιο τρόπο και για τις δύο περιπτώσεις;

Αφού απαιτήσουμε τη συνέχεια στο 0, θα βρούμε a=1, οπότε οι συναρτήσεις γίνονται:
\displaystyle{f(x)=\begin{cases} \eta \mu x + 1 & x  \leq 0 \\ e^{bx} & x > 0\end{cases}, b \neq 0}
ή
\displaystyle{f(x)=\begin{cases} \eta \mu x + 1 & x  \leq 0 \\ 1 &  x> 0 \end{cases}.}

Ο έλεγχος της παραγωγισιμότητας για την πρώτη περίπτωση συνάρτησης έμπεριέχει το εξής βήμα:
\displaystyle{\lim_{x \rightarrow 0^+}\frac{f(x)-f(0)}{x-0}=\lim_{x \rightarrow 0^+}\frac{e^{bx}-1}{x}}
όπου η εφαρμογή του θ. De L' Hospital οδηγεί σε παράγωγο εκθετικής συνάρτησης (ή σύνθεση εκθετικής πολυωνυμικής, ανάλογα με τη θεώρηση).

Στη δεύτερη έχουμε ότι:
\displaystyle{\lim_{x \rightarrow 0^+}\frac{f(x)-f(0)}{x-0}=\lim_{x \rightarrow 0^+}\frac{1-1}{x}=\lim_{x \rightarrow 0^+}\frac{0}{x}.}

Στο σημείο αυτό υπάρχουν δύο ενδεχόμενα:
1) Να κάνεις το εύκολο: Να δεις ότι ο αριθμητής ισούται με μηδέν, άρα \displaystyle{\lim_{x \rightarrow 0^+}\frac{f(x)-f(0)}{x-0}=0,}
ή
2) Να κάνεις το δύσκολο: Να πεις ότι είναι 0/0 και να εφαρμόσεις το θ. De L' Hospital χρησιμοποιώντας παράγωγο σταθερής συνάρτησης γράφοντας
\displaystyle{\lim_{x \rightarrow 0^+}\frac{f(x)-f(0)}{x-0}=\lim_{x \rightarrow 0^+}\frac{0}{1}=0.}

Αυτό που είπαμε και λέμε είναι ότι ο μαθητής με το τρόπο που αναπτύσσεται η λύση στις επίσημες λύσεις του σχολικού είναι ΙΣΟΠΕΔΩΤΙΚΟΣ. Παραγωγίζει εκθετική αντί σταθερή. Αυτό δεν συνιστά σύνοψη λύση, αλλά ισοπέδωση ...

Υ.Γ.1. Εδώ να πω ότι θα συμφωνήσω με τον Χρήστο: Όταν ο Μιχάλης Λάμπρου εκφράζει την άποψή του για κάτι, καλό είναι να σκεφτόμαστε πολλές φορές πριν πούμε κάτι διαφορετικό...
Υ.Γ.2. Όσοι έχουν κάνει εργασία για συνέδριο της ΕΜΕ γνωρίζουν ότι υπάρχει περιορισμός στις 10 σελίδες. Οφείλεις λοιπόν να εκτιμήσεις τι θα βάλεις, τι θα είναι σύντομο και πόσο σύντομο. Στις 10 σελίδες λοιπόν οφείλουμε να είμαστε συνοπτικοί και ουσιώδεις.

Θεωρώ ότι το πιο σημαντικό είναι το παρακάτω
Πρωτοπαπάς Λευτέρης έγραψε:
Κυρ Νοέμ 10, 2019 10:24 am
Αυτό που είπαμε και λέμε είναι ότι ο μαθητής με το τρόπο που αναπτύσσεται η λύση στις επίσημες λύσεις του σχολικού είναι ΙΣΟΠΕΔΩΤΙΚΟΣ. Παραγωγίζει εκθετική αντί σταθερή. Αυτό δεν συνιστά σύνοψη λύση, αλλά ισοπέδωση ...
Εμένα μου φαίνεται μια χαρά λύση.
Βέβαια όλες οι απόψεις είναι σεβαστές και ειδικά όταν προέρχονται από καταξιωμένους Μαθηματικούς.


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης