Μέγιστο εμβαδόν

Συντονιστής: KAKABASBASILEIOS

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 10647
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Μέγιστο εμβαδόν

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Παρ Ιαν 18, 2019 1:26 pm

Μέγιστο εμβαδόν.png
Μέγιστο εμβαδόν.png (9.4 KiB) Προβλήθηκε 383 φορές
Ένα τμήμα AB με άκρα επί των ημιαξόνων Ox , Oy , έχει σταθερό μήκος d .

Φέρουμε τη διάμεσο OM και το ύψος OD του ορθογωνίου τριγώνου OAB .

Για ποια θέση του AB , ( OA>OB ) , επιτυγχάνεται το (OMD)_{max} ;



Λέξεις Κλειδιά:
Altrian
Δημοσιεύσεις: 168
Εγγραφή: Τρί Μάιος 01, 2018 4:51 pm
Τοποθεσία: Βούλα, Αττική

Re: Μέγιστο εμβαδόν

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Altrian » Παρ Ιαν 18, 2019 2:16 pm

Καλησπέρα Θανάση και χρόνια πολλά.
\large OM=d/2 και το \large D κινείται σε ημικύκλιο διαμέτρου \large OM. Το \large (DOM)\rightarrow max όταν \large \bigtriangleup DOM ισοσκελές δηλ. \large \angle DMO=45\Rightarrow \angle BAO=22.5

Αλέξανδρος Τριανταφυλλάκης


Αλέξανδρος Τριανταφυλλάκης
Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 8151
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Μέγιστο εμβαδόν

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Παρ Ιαν 18, 2019 7:14 pm

KARKAR έγραψε:
Παρ Ιαν 18, 2019 1:26 pm
Μέγιστο εμβαδόν.pngΈνα τμήμα AB με άκρα επί των ημιαξόνων Ox , Oy , έχει σταθερό μήκος d .

Φέρουμε τη διάμεσο OM και το ύψος OD του ορθογωνίου τριγώνου OAB .

Για ποια θέση του AB , ( OA>OB ) , επιτυγχάνεται το (OMD)_{max} ;
Μέγιστο εμβαδόν.KAR.png
Μέγιστο εμβαδόν.KAR.png (15.5 KiB) Προβλήθηκε 326 φορές
\displaystyle DM \cdot OD \le \frac{{D{M^2} + O{D^2}}}{2} = \frac{{{d^2}}}{8} \Leftrightarrow \boxed{{(ODM)_{\max }} = \frac{{{d^2}}}{{16}}} όταν DM=DO=\dfrac{d\sqrt 2}{4}

Αλλά, \displaystyle {a^2} = {d^2} - {x^2} και \displaystyle {x^2} - {a^2} = 2d \cdot DM \Rightarrow \displaystyle{DM = \frac{{2{x^2} - {d^2}}}{{2d}}=\frac{d\sqrt 2}{4}} απ' όπου \boxed{x = \frac{d}{2}\sqrt {2 + \sqrt 2 }}


Άβαταρ μέλους
Γιώργος Ρίζος
Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 4359
Εγγραφή: Δευ Δεκ 29, 2008 1:18 pm
Τοποθεσία: Κέρκυρα

Re: Μέγιστο εμβαδόν

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Ρίζος » Παρ Ιαν 18, 2019 7:48 pm

Καλησπέρα σε όλους! ΧΡΟΝΙΑ ΠΟΛΛΑ κι ΕΥΤΥΧΙΣΜΕΝΑ Θανάση!

Αφού το AB είναι σταθερό, τότε και το OM είναι σταθερό, ίσο με d/2.

Το ορθογώνιο τρίγωνο σταθερής υποτείνουσας, έχει μέγιστο εμβαδό, όταν είναι ισοσκελές.(*)

Τότε  \displaystyle \widehat A = \frac{\pi }{8} \Rightarrow {\rm O}{\rm A} = d \cdot \sigma \upsilon \nu \frac{\pi }{8}


(*) Κλασική γνωστή πρόταση. Θα θέλατε να συγκεντρώσουμε μερικές αποδείξεις;


edit:
Μόλις τώρα παρατηρώ ότι κατ' ουσίαν επαναλαμβάνω την απόδειξη του Αλέξανδρου παραπάνω.... :oops:

Το αφήνω, για την πρόταση που υπέβαλα.


Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 10647
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Re: Μέγιστο εμβαδόν

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Παρ Ιαν 18, 2019 8:12 pm

Σε θέματα αναζήτησης ακροτάτου , συνήθως το κύριο ζητούμενο είναι το ίδιο το ακρότατο ,

ενίοτε όμως , το ενδιαφέρον επικεντρώνεται στο πότε επιτυγχάνεται το ακρότατο αυτό .

Αν παρατηρήσετε την εκφώνηση , δεν ζητάει το max αλλά της θέση της υποτείνουσας

η οποία μας δίνει το max . Συνεπώς η λύση του Γιώργου Β. απαντά πλήρως στο ερώτημα

ενώ εκείνες των Αλέξανδρου , Γιώργου Ρ. ... κάπως πλησιάζουν :lol:


Άβαταρ μέλους
Γιώργος Ρίζος
Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 4359
Εγγραφή: Δευ Δεκ 29, 2008 1:18 pm
Τοποθεσία: Κέρκυρα

Re: Μέγιστο εμβαδόν

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Ρίζος » Παρ Ιαν 18, 2019 8:28 pm

KARKAR έγραψε:
Παρ Ιαν 18, 2019 8:12 pm
Σε θέματα αναζήτησης ακροτάτου , συνήθως το κύριο ζητούμενο είναι το ίδιο το ακρότατο ,

ενίοτε όμως , το ενδιαφέρον επικεντρώνεται στο πότε επιτυγχάνεται το ακρότατο αυτό .

Αν παρατηρήσετε την εκφώνηση , δεν ζητάει το max αλλά τη θέση της υποτείνουσας

η οποία μας δίνει το max . Συνεπώς η λύση του Γιώργου Β. απαντά πλήρως στο ερώτημα

ενώ εκείνες των Αλέξανδρου , Γιώργου Ρ. ... κάπως πλησιάζουν :lol:

Η γνωστού μήκους υποτείνουσα AB σχηματίζει γνωστή γωνία με την επίσης γνωστού μήκους κάθετη AO. Άρα γεωμετρικά είναι πλήρως καθορισμένη η θέση της. Μια φορά πήγαμε να αποφύγουμε τον Καρτέσιο και ο θεματοδότης εξαντλεί την αυστηρότητά του... :(


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες