ΠΑΊΖΟΝΤΑΣ ΜΕ ΓΡΑΦΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ

#1

. Έστω $\displaystyle{f}$ δυο φορές παραγωγίσιμη, με συνεχή $\displaystyle{f''}$ και η $\displaystyle{Cf }$ δεν έχει κανένα ευθύγραμμο τμήμα. Υπάρχει εφαπτομένη που διέρχεται από το $\displaystyle{(0,0)}$ και ταυτίζεται με την ασύμπτωτο της $\displaystyle{+\infty }$ . Τότε η $\displaystyle{f}$ έχει δυο τουλάχιστον σημεία καμπής.ΔΕΝ θυμάμαι αν την εχω στείλει Εψαξα αλλά...

#2

Είναι εφαπτομένη στο $\displaystyle{x_0}$ , $\displaystyle{y=f'(x_0)x+f(x_0)-x_0f'(x_0)}$
Περνά από το $\displaystyle{(0,0)}$ άρα $\displaystyle{y=mx}$
είναι και ασύμπτωτος $\displaystyle{\lim_{x\to +\infty}{f(x)-mx}=0}$

Θέτω $\displaystyle{w(x)=f(x)-mx}$ άρα έχουμε
$\displaystyle{m=f(x_0)/x_0=f'(x_0)}$ [1] με $\displaystyle{\lim_{x\to +\infty}w(x)=0}$ [2]
επίσης οι ρίζες των $\displaystyle{w,w'}$ είναι μεμονωμένα σημεία και δεν αποτελούν διάστημα

Αν $\displaystyle{w''>0,x>x_0}$ τότε $\displaystyle{w'}$ αύξουσα $\displaystyle{x>x_0 \Rightarrow w'(x)>w'(x_0)=0\Rightarrow w(x)>w(x_0)=0}$ άτοπο λόγω της [2] εύκολη απόδειξη
Με ίδιο τρόπο καταλήγουμε σε άτοπο αν υποθέσουμε οτι $\displaystyle{w''<0}$

αρα η $\displaystyle{w''}$ αλλάζει προσημο μετά το $\displaystyle{x_0}$ εστω στο $\displaystyle{χ_1}$ με $\displaystyle{w''(x_1)=0}$
Άρα έχουμε το 1ο ΣΚ στο $\displaystyle{x_1}$
και $\displaystyle{w(x_1)>0}$ διοτι η συνάρτηση αρχικά υποθέτουμε ΧΒΓ πως είναι κυρτή άρα πάνω από την εφαπτομένη της

τωρα υποθέσαμε οτι $\displaystyle{w''<0 ,x>x_1}$ άρα $\displaystyle{w'}$ φθίνουσα
Δυο πραγματα μπορουν να συμβούν

i H $\displaystyle{w’'}$ να μην αλλάζει πρόσημο μετά το $\displaystyle{x_1}$ και να παραμένει κοίλη Θα δείξουμε ότι είναι άτοπο
έχουμε $\displaystyle{w(x_1)>0}$ , $\displaystyle{w’(x_1)>w’(x_0)=0}$ και $\displaystyle{w’(x)>0}$ άρα $\displaystyle{w(x)>w(x_1)}$ ατοπο από την [2]

ii τώρα υπάρχει $\displaystyle{x_2:w’(x_2)=0>w’(x)}$ μετά το $\displaystyle{x_2}$ άρα υπάρχει εφαπτομένη με αρνητική κλίση και η $\displaystyle{w}$ είναι κάτω από αυτήν άτοπο από την [2]

έτσι η $\displaystyle{w’’}$ αλλάζει πάλι πρόσημο μετά το $\displaystyle{x_2}$ που εξασφαλίζει το 2ο ΣΚ

ΠΑΊΖΟΝΤΑΣ ΜΕ ΓΡΑΦΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ

ΠΑΊΖΟΝΤΑΣ ΜΕ ΓΡΑΦΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ

Re: ΠΑΊΖΟΝΤΑΣ ΜΕ ΓΡΑΦΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ

Μέλη σε σύνδεση