Παραμετρική εφαπτομένη

Al.Koutsouridis · #1

Να βρείτε όλες τις τιμές της παραμέτρου

, για τις οποίες η εφαπτομένη στη γραφική παράσταση της συνάρτησης

$\displaystyle y = \sin \dfrac{x+11}{2} +\dfrac{3}{2}a -a^2$ ,

που φέρεται από σημείο της με τετμημένη

, να μην τέμνει καμία εκ των συναρτήσεων $\displaystyle y=\frac{1}{2}x+2$ και $\displaystyle y = -\dfrac{2}{x}$ .

#2

Al.Koutsouridis έγραψε: ↑
Τετ Ιαν 02, 2019 1:02 pm
Να βρείτε όλες τις τιμές της παραμέτρου , για τις οποίες η εφαπτομένη στη γραφική παράσταση της συνάρτησης

$\displaystyle y = \sin \dfrac{x+11}{2} +\dfrac{3}{2}a -a^2$ ,

που φέρεται από σημείο της με τετμημένη , να μην τέμνει καμία των συναρτήσεων $\displaystyle y=\frac{1}{2}x+2$ και $\displaystyle y = -\dfrac{2}{x}$ .

...Καλή χρονιά

με μια προσπάθεια στο θέμα του Al.Koutsouridis

Αν $f(x)=\sin \frac{x+11}{2}+\frac{3}{2}a-{{a}^{2}}$ πρώτα, για να έχουμε εφαπτομένη στη γραφική παράσταση της συνάρτησης,

που φέρεται από σημείο της με τετμημένη

, να μην τέμνει την συνάρτηση $\displaystyle y=\frac{1}{2}x+2$

πρέπει πρώτα αναγκαία να είναι παράλληλες και να μη ταυτίζονται άρα πρέπει να ισχύει

${f}'(a)=\frac{1}{2}\Leftrightarrow \frac{1}{2}\cos (\frac{x+11}{2})=\frac{1}{2}\Leftrightarrow \cos (\frac{x+11}{2})=1$

$\Leftrightarrow \frac{a+11}{2}=2\kappa \pi \Leftrightarrow a=4\kappa \pi -11,\,\,\kappa \in \mathbb{Z}$

και επειδή η εφαπτομένη στο $(a,\,f(a))$ είναι τότε: $y-f(a)=\frac{1}{2}(x-a)$ ή $y=\frac{1}{2}x+a-{{a}^{2}}$

αφού $f(4\kappa \pi -11)=sin(\frac{4\kappa \pi -11+11}{2})+\frac{3}{2}a-{{a}^{2}}=\frac{3}{2}a-{{a}^{2}}$

για να μη ταυτίζονται πρέπει $a-{{a}^{2}}\ne 2\Leftrightarrow {{a}^{2}}-a+2\ne 0$ που ισχύει για κάθε

.

Ακόμη έχουμε για την $g(x)=-\frac{2}{x}$ ότι ${g}'(x)=\frac{2}{{{x}^{2}}}$ και

${g}'({{x}_{0}})=\frac{1}{2}\Leftrightarrow \frac{2}{x_{0}^{2}}=\frac{1}{2}$ $\Leftrightarrow {{x}_{0}}=\pm 2$

οι εφαπτόμενες στα σημεία $(-2,g(-2)),\,\,(2,g(2))$ είναι $\displaystyle y=\frac{1}{2}x+2$ και $y=\frac{1}{2}x-2$

και επειδή ${g}''(x)=-\frac{4}{{{x}^{3}}}$ ισχύουν ${g}''(x)>0,\,\,x<0,\,\,{g}''(x)<0,\,\,x>0$

δηλαδή κυρτή στο $(-\infty ,0)$ και κοίλη στο $(0,\,+\infty )$ οπότε ισχύουν

$g(x)\ge \frac{1}{2}x+2,\,\,x<0$ και $g(x)\le \frac{1}{2}x-2,\,\,x>0$ επομένως για να μην έχουν κοινά σημεία

η

και η ευθεία $y=\frac{1}{2}x+a-{{a}^{2}}$ θα πρέπει να βρίσκεται στην ταινία που ορίζουν οι

$\displaystyle y=\frac{1}{2}x+2$ και $y=\frac{1}{2}x-2$ επομένως να ισχύει και $-2<a-{{a}^{2}}<2$ απ όπου

${{a}^{2}}-a-2<0\Leftrightarrow -1<a<2$ και ${{a}^{2}}-a+2>0$ που ισχύει για κάθε

και αφού

$a=4\kappa \pi -11,\,\,\kappa \in \mathbb{Z}$ πρέπει

$-1<4\kappa \pi -11<2\Leftrightarrow \frac{5}{2\pi }<\kappa <\frac{13}{4\pi },\,\,\kappa \in \mathbb{Z}$

που συμβαίνει μόνο όταν $\kappa =1$ άρα $a=4\pi -11$

...θα ανεβάσω και σχετικό σχήμα για καλύτερη κατανόηση

Φιλικά και Μαθηματικά
Βασίλης

Παραμετρική εφαπτομένη

Παραμετρική εφαπτομένη

Re: Παραμετρική εφαπτομένη

Μέλη σε σύνδεση