mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Σάβ Δεκ 15, 2018 9:13 am**

Δίνεται η συνάρτηση : $f(x)=\sqrt{1-cosx}$ . Είναι η

παραγωγίσιμη στο

;

Αν πάρουμε ως πεδίο ορισμού το $[0,+\infty )$ , είναι τώρα παραγωγίσιμη στο

;

Δημοσιεύτηκε: **Σάβ Δεκ 15, 2018 9:41 am**

Καλημέρα σε όλους.

Αφού ενδιαφερόμαστε για τη συμπεριφορά της

στο

, μπορούμε να περιορίσουμε τη μελέτη τη συνάρτησης σε μια περιοχή του μηδενός. Ας πάρουμε το $\displaystyle \left( { - \frac{\pi }{6},\;\frac{\pi }{6}} \right)$ .

Είναι $\displaystyle f(x) = \sqrt {1 - \sigma \upsilon \nu x} = \sqrt 2 \left| {\eta \mu \frac{x}{2}} \right| = \left\{ \begin{array}{l} - \sqrt 2 \eta \mu \frac{x}{2},\;\;x \in \left( { - \frac{\pi }{6},\;0} \right)\\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;0,\;\;\;x = 0\\ \sqrt 2 \eta \mu \frac{x}{2},\;\;x \in \left( {0,\;\frac{\pi }{6}} \right) \end{array} \right.$

Είναι $\displaystyle \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \frac{{f\left( x \right) - f\left( 0 \right)}}{{x - 0}} = - \frac{{\sqrt 2 }}{2}\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \frac{{\eta \mu \frac{x}{2}}}{{\frac{x}{2}}} = - \frac{{\sqrt 2 }}{2}$ και $\displaystyle \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{{f\left( x \right) - f\left( 0 \right)}}{{x - 0}} = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{{\eta \mu \frac{x}{2}}}{{\frac{x}{2}}} = \frac{{\sqrt 2 }}{2}$ .

Η

δεν είναι παραγωγίσιμη στο x_0=0

, αφού τα πλευρικά όρια του λόγου μεταβολής είναι διαφορετικά.

Έστω $\displaystyle f(x) = \sqrt 2 \eta \mu \frac{x}{2},\;\;x \in \left[ {0,\;\frac{\pi }{6}} \right)$ .

Είναι $\displaystyle \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{f\left( x \right) - f\left( 0 \right)}}{{x - 0}} = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\eta \mu \frac{x}{2}}}{{\frac{x}{2}}} = \frac{{\sqrt 2 }}{2}$ , οπότε είναι παραγωγίσιμη στο x_0=0

με $\displaystyle f'\left( 0 \right) = \frac{{\sqrt 2 }}{2}$ .

Δημοσιεύτηκε: **Σάβ Δεκ 15, 2018 9:49 am**

$\lim_{{x }\rightarrow 0^-} \frac{\sqrt{1-cosx}}{x}=-\frac{\sqrt{2}}{2}\ne\frac{\sqrt{2}}{2}=\lim_{{x }\rightarrow 0^+} \frac{\sqrt{1-cosx}}{x}$

αρά η συνάρτηση f(x)

με πεδίο ορισμού το $\mathbb{R}$ δεν είναι παραγωγίσιμη στο

.

Σε αντίθεση με την συνάρτηση $g(x)=\sqrt{1-cosx}$ με πεδίο ορισμού το $[0,+\infty)$ που είναι παραγωγίσιμη στο

.

mathematica.gr

Ημι-παραγωγίσιμη

Ημι-παραγωγίσιμη

Re: Ημι-παραγωγίσιμη

Re: Ημι-παραγωγίσιμη