Ημι-παραγωγίσιμη

Συντονιστής: KAKABASBASILEIOS

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 11876
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Ημι-παραγωγίσιμη

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Σάβ Δεκ 15, 2018 9:13 am

Δίνεται η συνάρτηση : f(x)=\sqrt{1-cosx} . Είναι η f παραγωγίσιμη στο 0 ;

Αν πάρουμε ως πεδίο ορισμού το  [0,+\infty ) , είναι τώρα παραγωγίσιμη στο 0 ;



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Γιώργος Ρίζος
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 4712
Εγγραφή: Δευ Δεκ 29, 2008 1:18 pm
Τοποθεσία: Κέρκυρα

Re: Ημι-παραγωγίσιμη

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Ρίζος » Σάβ Δεκ 15, 2018 9:41 am

Καλημέρα σε όλους.

Αφού ενδιαφερόμαστε για τη συμπεριφορά της f στο 0, μπορούμε να περιορίσουμε τη μελέτη τη συνάρτησης σε μια περιοχή του μηδενός. Ας πάρουμε το  \displaystyle \left( { - \frac{\pi }{6},\;\frac{\pi }{6}} \right) .

Είναι  \displaystyle f(x) = \sqrt {1 - \sigma \upsilon \nu x}  = \sqrt 2 \left| {\eta \mu \frac{x}{2}} \right| = \left\{ \begin{array}{l} 
 - \sqrt 2 \eta \mu \frac{x}{2},\;\;x \in \left( { - \frac{\pi }{6},\;0} \right)\\ 
\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;0,\;\;\;x = 0\\ 
\sqrt 2 \eta \mu \frac{x}{2},\;\;x \in \left( {0,\;\frac{\pi }{6}} \right) 
\end{array} \right.

Είναι  \displaystyle \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \frac{{f\left( x \right) - f\left( 0 \right)}}{{x - 0}} =  - \frac{{\sqrt 2 }}{2}\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \frac{{\eta \mu \frac{x}{2}}}{{\frac{x}{2}}} =  - \frac{{\sqrt 2 }}{2} και  \displaystyle \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{{f\left( x \right) - f\left( 0 \right)}}{{x - 0}} = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{{\eta \mu \frac{x}{2}}}{{\frac{x}{2}}} = \frac{{\sqrt 2 }}{2} .

Η f δεν είναι παραγωγίσιμη στο x_0=0, αφού τα πλευρικά όρια του λόγου μεταβολής είναι διαφορετικά.

Έστω  \displaystyle f(x) = \sqrt 2 \eta \mu \frac{x}{2},\;\;x \in \left[ {0,\;\frac{\pi }{6}} \right) .

Είναι  \displaystyle \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{f\left( x \right) - f\left( 0 \right)}}{{x - 0}} = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\eta \mu \frac{x}{2}}}{{\frac{x}{2}}} = \frac{{\sqrt 2 }}{2} , οπότε είναι παραγωγίσιμη στο x_0=0 με  \displaystyle f'\left( 0 \right) = \frac{{\sqrt 2 }}{2} .


Άβαταρ μέλους
Christos.N
Δημοσιεύσεις: 1856
Εγγραφή: Πέμ Νοέμ 26, 2009 2:28 pm
Τοποθεσία: Ίλιον

Re: Ημι-παραγωγίσιμη

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Christos.N » Σάβ Δεκ 15, 2018 9:49 am

\lim_{{x }\rightarrow 0^-} \frac{\sqrt{1-cosx}}{x}=-\frac{\sqrt{2}}{2}\ne\frac{\sqrt{2}}{2}=\lim_{{x }\rightarrow 0^+} \frac{\sqrt{1-cosx}}{x}

αρά η συνάρτηση f(x) με πεδίο ορισμού το \mathbb{R} δεν είναι παραγωγίσιμη στο 0.

Σε αντίθεση με την συνάρτηση g(x)=\sqrt{1-cosx} με πεδίο ορισμού το [0,+\infty) που είναι παραγωγίσιμη στο 0.


Χρήστος Ντάβας
Wir müssen wissen — wir werden wissen! D.Hilbert
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 3 επισκέπτες