Παράγωγος

ann79 · #1

Έπειτα από διαφωνία..Να εξεταστεί αν η $f(x)=\left\{\begin{matrix}x^{2}lnx,x>0\\ 0,x=0\end{matrix}\right.$ είναι παραγωγίσιμη στο

.

Tolaso J Kos · #2

ann79 έγραψε: ↑
Τρί Δεκ 11, 2018 2:52 pm
Έπειτα από διαφωνία..Να εξεταστεί αν η $f(x)=\left\{\begin{matrix}x^{2}lnx,x>0\\ 0,x=0\end{matrix}\right.$ είναι παραγωγίσιμη στο .

Είναι

$\displaystyle{\begin{aligned} \lim_{x\rightarrow 0^+} \frac{f(x) - f(0)}{x-0} &=\lim_{x\rightarrow 0^+} \frac{x^2 \ln x}{x} \\ &=\lim_{x\rightarrow 0^+} x \ln x \\ &= \lim_{x\rightarrow 0^+} \frac{\ln x}{\frac{1}{x}} \\ &\!\!\!\!\overset{\text{DLH}}{=\! =\!=\!} \lim_{x\rightarrow 0^+} -\frac{x^2}{x} \\ &= -\lim_{x\rightarrow 0^+} x \\ &=0 \end{aligned}}$
Άρα , ναι , είναι παραγωγίσιμη στο x_0=0

. Ενδιαφέρουσα ερώτηση είναι αν είναι συνεχής η παράγωγος στο

αλλά και αυτό δεν είναι κάτι δύσκολο αφού $f'(x) = x + 2x \ln x \;, \; x>0$ και $\lim \limits_{x \rightarrow 0^+} f'(x)=0 = f'(0)$ .

#3

ann79 έγραψε: ↑
Τρί Δεκ 11, 2018 2:52 pm
Έπειτα από διαφωνία..Να εξεταστεί αν η $f(x)=\left\{\begin{matrix}x^{2}lnx,x>0\\ 0,x=0\end{matrix}\right.$ είναι παραγωγίσιμη στο .

Θεωρώ γνωστό ότι $\displaystyle \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} (x\ln x) = 0$ (Βγαίνει με De L' Hospital).

$\displaystyle \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{{f(x)}}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} (x\ln x) = 0 = f'(0)$

Με πρόλαβε ο Τόλης. Το αφήνω.

Tolaso J Kos · #4

Γεια σου Γιώργο. Μαζί γράφαμε από όσο φαίνεται.

ann79 έγραψε: ↑
Τρί Δεκ 11, 2018 2:52 pm
Έπειτα από διαφωνία....

Δε μπορώ να καταλάβω πού θα μπορούσε να υπάρχει διαφωνία για αυτό το .... απλό θέμα!

KARKAR · #5

: πλευρική.png (12.53 KiB) Προβλήθηκε 1107 φορές

Στο δεξιό άκρο το διάστημα μπορεί να είναι κλειστό ; Άσκηση 4 ,παρ. 2.2 του σχολικού .

Tolaso J Kos · #6

Θανάση,

δε καταλαβαίνω πού κολλάει η γραφική παράσταση με το προβληματισμό που συζητάμε! Για ανάπτυξε τις σκέψεις σου!

ann79 · #7

Η διαφωνία , μεταξύ συναδέλφων,έγκειται στο αν μπορούμε να υπολογίσουμε την παράγωγο στο

που είναι το αριστερό άκρο του διαστήματος(παρόμοιο προβληματισμό δίνει και ο κ.ΚARKAR).Γνώμη μου είναι ότι μπορούμε.

#8

Δεν καταλαβαίνω γιατί να υπάρχει διαφωνία. Ο ορισμός είναι σαφής, Αν $\displaystyle {x_0} \in {D_f}$ και το όριο $\displaystyle \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{f(x) - f({x_0})}}{{x - {x_0}}}$

υπάρχει και είναι πραγματικός αριθμός, τότε η

είναι παραγωγίσιμη στο x_0

Θα υπήρχε πρόβλημα αν οριζόταν για αρνητικές τιμές του

και τα πλευρικά όρια ήταν διαφορετικά, π.χ $\displaystyle f(x) = \left\{ \begin{array}{l} {x^2}\ln x,x > 0\\ \\ 0,x = 0\\ \\ \sin x,x < 0 \end{array} \right.$ .

Τώρα η συνάρτηση εξακολουθεί να είναι συνεχής στο

αλλά όχι παραγωγίσιμη γιατί $\displaystyle \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{{f(x)}}{x} = 0 \ne 1 = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \frac{{f(x)}}{x}$

: Παράγωγος.png (11.69 KiB) Προβλήθηκε 1016 φορές

Εξάλλου, στο κεφάλαιο των ορίων και συγκεκριμένα στα πλευρικά όρια, το σχολικό βιβλίο ξεκαθαρίζει, ότι αν μια συνάρτηση

είναι

ορισμένη σε διάστημα (x_0, b)

αλλά δεν ορίζεται σε διάστημα της μορφής (a, x_0)

τότε $\boxed{\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}^ + } f(x)}$

KARKAR · #9

Tolaso J Kos έγραψε: ↑
Τετ Δεκ 12, 2018 9:14 am
Θανάση , δε καταλαβαίνω πού κολλάει η γραφική παράσταση με το προβληματισμό που συζητάμε! Για ανάπτυξε τις σκέψεις σου!

Επισκεφθείτε το σχήμα της σχολικής άσκησης που βρίσκεται παραπάνω . Η απάντηση του σχολικού

είναι : $f'(x)=-\dfrac{4}{3} , x\in (6,9)$ . Μήπως θα έπρεπε να είναι : $f'(x)=-\dfrac{4}{3} , x\in (6,9]$ ;

#10

Προφανώς η λύση του σχολικού είναι λάθος (ή έχει δοθεί λάθος σχήμα στην εκφώνηση). Στο σχήμα που

δίνεται δεν υπάρχει αμφιβολία ότι το πεδίο ορισμού της συνάρτησης είναι το κλειστό διάστημα [-2,9].

Επίσης, ο ορισμός του σχολικού για το πότε μία συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη σε κλειστό διάστημα είναι σαφής.

Άρα στη συγκεκριμένη άσκηση είναι $\displaystyle f'(x) = 1,x \in [ - 2,0)$ και $\displaystyle f'(x) = - \frac{4}{3},x \in (6,9].$

Παράγωγος

Παράγωγος

Re: Παράγωγος

Re: Παράγωγος

Re: Παράγωγος

Re: Παράγωγος

Re: Παράγωγος

Re: Παράγωγος

Re: Παράγωγος

Re: Παράγωγος

Re: Παράγωγος

Μέλη σε σύνδεση