Παράγωγος

Συντονιστής: KAKABASBASILEIOS

ann79
Δημοσιεύσεις: 258
Εγγραφή: Σάβ Αύγ 30, 2014 4:45 pm

Παράγωγος

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ann79 » Τρί Δεκ 11, 2018 2:52 pm

Έπειτα από διαφωνία..Να εξεταστεί αν η f(x)=\left\{\begin{matrix}x^{2}lnx,x>0\\ 0,x=0\end{matrix}\right.

είναι παραγωγίσιμη στο 0.



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 4174
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη
Επικοινωνία:

Re: Παράγωγος

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Tolaso J Kos » Τρί Δεκ 11, 2018 3:00 pm

ann79 έγραψε:
Τρί Δεκ 11, 2018 2:52 pm
Έπειτα από διαφωνία..Να εξεταστεί αν η f(x)=\left\{\begin{matrix}x^{2}lnx,x>0\\ 0,x=0\end{matrix}\right. 
 
είναι παραγωγίσιμη στο 0.

Είναι

\displaystyle{\begin{aligned} 
\lim_{x\rightarrow 0^+} \frac{f(x) - f(0)}{x-0} &=\lim_{x\rightarrow 0^+} \frac{x^2 \ln x}{x} \\  
 &=\lim_{x\rightarrow 0^+} x \ln x \\  
 &= \lim_{x\rightarrow 0^+} \frac{\ln x}{\frac{1}{x}} \\  
 &\!\!\!\!\overset{\text{DLH}}{=\! =\!=\!} \lim_{x\rightarrow 0^+} -\frac{x^2}{x} \\ 
 &= -\lim_{x\rightarrow 0^+} x \\ 
 &=0  
\end{aligned}}
Άρα , ναι , είναι παραγωγίσιμη στο x_0=0. Ενδιαφέρουσα ερώτηση είναι αν είναι συνεχής η παράγωγος στο 0 αλλά και αυτό δεν είναι κάτι δύσκολο αφού f'(x) = x + 2x \ln x \;, \; x>0 και \lim \limits_{x \rightarrow 0^+} f'(x)=0 = f'(0).
τελευταία επεξεργασία από Tolaso J Kos σε Τρί Δεκ 11, 2018 3:03 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}
Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 8949
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Παράγωγος

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Τρί Δεκ 11, 2018 3:03 pm

ann79 έγραψε:
Τρί Δεκ 11, 2018 2:52 pm
Έπειτα από διαφωνία..Να εξεταστεί αν η f(x)=\left\{\begin{matrix}x^{2}lnx,x>0\\ 0,x=0\end{matrix}\right. 
 
είναι παραγωγίσιμη στο 0.
Θεωρώ γνωστό ότι \displaystyle \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} (x\ln x) = 0 (Βγαίνει με De L' Hospital).

\displaystyle \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{{f(x)}}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} (x\ln x) = 0 = f'(0)


Με πρόλαβε ο Τόλης. Το αφήνω.


Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 4174
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη
Επικοινωνία:

Re: Παράγωγος

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Tolaso J Kos » Τρί Δεκ 11, 2018 3:04 pm

Γεια σου Γιώργο. Μαζί γράφαμε από όσο φαίνεται.

ann79 έγραψε:
Τρί Δεκ 11, 2018 2:52 pm
Έπειτα από διαφωνία....
Δε μπορώ να καταλάβω πού θα μπορούσε να υπάρχει διαφωνία για αυτό το .... απλό θέμα!


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}
Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 11354
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Re: Παράγωγος

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Τρί Δεκ 11, 2018 8:49 pm

πλευρική.png
πλευρική.png (12.53 KiB) Προβλήθηκε 710 φορές
Στο δεξιό άκρο το διάστημα μπορεί να είναι κλειστό ; Άσκηση 4 ,παρ. 2.2 του σχολικού .


Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 4174
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη
Επικοινωνία:

Re: Παράγωγος

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Tolaso J Kos » Τετ Δεκ 12, 2018 9:14 am

Θανάση,

δε καταλαβαίνω πού κολλάει η γραφική παράσταση με το προβληματισμό που συζητάμε! Για ανάπτυξε τις σκέψεις σου! :)


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}
ann79
Δημοσιεύσεις: 258
Εγγραφή: Σάβ Αύγ 30, 2014 4:45 pm

Re: Παράγωγος

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ann79 » Τετ Δεκ 12, 2018 10:18 am

Η διαφωνία , μεταξύ συναδέλφων,έγκειται στο αν μπορούμε να υπολογίσουμε την παράγωγο στο 0 που είναι το αριστερό άκρο του διαστήματος(παρόμοιο προβληματισμό δίνει και ο κ.ΚARKAR).Γνώμη μου είναι ότι μπορούμε.


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 8949
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Παράγωγος

#8

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Τετ Δεκ 12, 2018 10:50 am

Δεν καταλαβαίνω γιατί να υπάρχει διαφωνία. Ο ορισμός είναι σαφής, Αν \displaystyle {x_0} \in {D_f} και το όριο \displaystyle \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{f(x) - f({x_0})}}{{x - {x_0}}}

υπάρχει και είναι πραγματικός αριθμός, τότε η f είναι παραγωγίσιμη στο x_0

Θα υπήρχε πρόβλημα αν οριζόταν για αρνητικές τιμές του x και τα πλευρικά όρια ήταν διαφορετικά, π.χ \displaystyle f(x) = \left\{ \begin{array}{l} 
{x^2}\ln x,x > 0\\ 
\\ 
0,x = 0\\ 
\\ 
\sin x,x < 0 
\end{array} \right..

Τώρα η συνάρτηση εξακολουθεί να είναι συνεχής στο 0, αλλά όχι παραγωγίσιμη γιατί \displaystyle \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{{f(x)}}{x} = 0 \ne 1 = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \frac{{f(x)}}{x}
Παράγωγος.png
Παράγωγος.png (11.69 KiB) Προβλήθηκε 619 φορές
Εξάλλου, στο κεφάλαιο των ορίων και συγκεκριμένα στα πλευρικά όρια, το σχολικό βιβλίο ξεκαθαρίζει, ότι αν μια συνάρτηση f είναι

ορισμένη σε διάστημα (x_0, b) αλλά δεν ορίζεται σε διάστημα της μορφής (a, x_0) τότε \boxed{\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}^ + } f(x)}


Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 11354
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Re: Παράγωγος

#9

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Σάβ Δεκ 15, 2018 10:03 am

Tolaso J Kos έγραψε:
Τετ Δεκ 12, 2018 9:14 am
Θανάση , δε καταλαβαίνω πού κολλάει η γραφική παράσταση με το προβληματισμό που συζητάμε! Για ανάπτυξε τις σκέψεις σου! :)
Επισκεφθείτε το σχήμα της σχολικής άσκησης που βρίσκεται παραπάνω . Η απάντηση του σχολικού

είναι : f'(x)=-\dfrac{4}{3} , x\in (6,9) . Μήπως θα έπρεπε να είναι : f'(x)=-\dfrac{4}{3} , x\in (6,9] ;


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 8949
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Παράγωγος

#10

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Σάβ Δεκ 15, 2018 11:40 am

Προφανώς η λύση του σχολικού είναι λάθος (ή έχει δοθεί λάθος σχήμα στην εκφώνηση). Στο σχήμα που

δίνεται δεν υπάρχει αμφιβολία ότι το πεδίο ορισμού της συνάρτησης είναι το κλειστό διάστημα [-2,9].

Επίσης, ο ορισμός του σχολικού για το πότε μία συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη σε κλειστό διάστημα είναι σαφής.

Άρα στη συγκεκριμένη άσκηση είναι \displaystyle f'(x) = 1,x \in [ - 2,0) και \displaystyle f'(x) =  - \frac{4}{3},x \in (6,9].


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες