Εύρεση τύπου συνάρτησης

ann79 · #1

Να βρεθεί ο τύπος της παραγωγίσιμης συνάρτησης

, με $f:R\rightarrow R$ που ικανοποιεί τη σχέση
$(x-2)f'(x)+f(x)=3x^{2}-2x-1$ .

#2

ann79 έγραψε: ↑
Δευ Δεκ 03, 2018 11:08 am
Να βρεθεί ο τύπος της παραγωγίσιμης συνάρτησης , με $f:R\rightarrow R$ που ικανοποιεί τη σχέση
$(x-2)f'(x)+f(x)=3x^{2}-2x-1$ .

Η δοθείσα σχέση γράφεται: $\displaystyle xf'(x) + f(x) = 2f'(x) + 3{x^2} - 2x - 1 \Rightarrow (xf(x))' = {\left( {2f(x) + {x^3} - {x^2} - x} \right)^\prime }$

Άρα, $\displaystyle xf(x) = 2f(x) + {x^3} - {x^2} - x + c\mathop \Rightarrow \limits^{f(2) = 7}$ $\boxed{c=-2}$

$\displaystyle (x - 2)f(x) = {x^3} - {x^2} - x - 2 = (x - 2)({x^2} + x + 1)$ και για $x\ne 2,$ f(x)=x^2+x+1.

Η

είναι όμως παραγωγίσιμη στο $\mathbb{R},$ άρα και συνεχής, οπότε $\displaystyle f(x) = \left\{ \begin{array}{l} {x^2} + x + 1,x \ne 2\\ 7,x = 2 \end{array} \right.$

Τελικά, $f(x)=x^2+x+1, x\in \mathbb{R}.$

#3

ann79 έγραψε: ↑
Δευ Δεκ 03, 2018 11:08 am
Να βρεθεί ο τύπος της παραγωγίσιμης συνάρτησης , με $f:R\rightarrow R$ που ικανοποιεί τη σχέση
$(x-2)f'(x)+f(x)=3x^{2}-2x-1$ .

Λίγο αλλιώς: Η δοθείσα γράφεται $\displaystyle{ ((x-2)f(x))΄=3x^{2}-2x-1 = (x^{3}-x^2-x)'}$ , άρα $\displaystyle{ (x-2)f(x) = x^3 -x^{2}-x+c}$ .

Για x=2

βρίσκουμε

. Άρα $\displaystyle{ (x-2)f(x) = x^3 -x^{2}-x-2 = (x-2)(x^2+x+1)}$ που σημαίνει ότι για $x\ne 2$ είναι (διαιρώ με το x-2

)

$\displaystyle{ f(x) = x^2+x+1\,\, (*)}$ .

Από συνέχεια είναι $\displaystyle{f(2) = 2^2+2+1}$ , δηλαδή ισχύει η (*)

για κάθε

(συμπεριλαμβανομένου του x=2

)

Εύρεση τύπου συνάρτησης

Εύρεση τύπου συνάρτησης

Re: Εύρεση τύπου συνάρτησης

Re: Εύρεση τύπου συνάρτησης

Μέλη σε σύνδεση