Μικρότερη τιμή παραμέτρου

pito · #1

Καλημέρα

.

Να βρεθεί η μικρότερη τιμή του

για την οποία η συνάρτηση $f(x)=\frac{1}{1+x^{2}}+ax$ είναι γνησίως αύξουσα στο

.

#2

pito έγραψε: ↑
Πέμ Νοέμ 29, 2018 11:05 am
Καλημέρα .

Να βρεθεί η μικρότερη τιμή του για την οποία η συνάρτηση $f(x)=\frac{1}{1+x^{2}}+ax$ είναι γνησίως αύξουσα στο .

Απάντηση: $\displaystyle{a= \frac {3\sqrt 3}{8} }$

Είναι $\displaystyle{f'(x)= -\frac {2x}{(1+x^2)^2}+a}$ οπότε είναι $f'(x) \ge 0$ αν και μόνον αν για κάθε

είναι $\displaystyle{a\ge \frac {2x}{(1+x^2)^2}}$ . Άρα και $\displaystyle{a\ge \max \frac {2x}{(1+x^2)^2} = ... = \frac {3\sqrt 3}{8} }$ (το τελευταίο με παραγώγιση, όπου λαμβάνει το ακρότατο για $\displaystyle{ x= \frac {\sqrt 3}{3} }$ )

Συνοψίζοντας, για $\displaystyle{a= \frac {3\sqrt 3}{8} }$ η συνάρτηση έχει γνήσια θετική παράγωγο εκτός από ένα σημείο που είναι

, άρα είναι γνήσια αύξουσα. Για $\displaystyle{a > \frac {3\sqrt 3}{8} }$ είναι γνήσια θετική η παράγωγος, κλπ. Ενώ για $\displaystyle{a< \frac {3\sqrt 3}{8} }$ η παράγωγος είναι αρνητική σε κάποιο διάστημα, και άρα δεν είναι γνήσια αύξουσα η συνάρτηση.

Μικρότερη τιμή παραμέτρου

Μικρότερη τιμή παραμέτρου

Re: Μικρότερη τιμή παραμέτρου

Μέλη σε σύνδεση