Παράγωγος και ρυθμός μεταβολής

Συντονιστής: KAKABASBASILEIOS

Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 3913
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη , Παρίσι
Επικοινωνία:

Παράγωγος και ρυθμός μεταβολής

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Tolaso J Kos » Σάβ Νοέμ 10, 2018 10:42 pm

Με αφορμή αυτή την άσκηση... ανεβάζω αυτή που δημοσιεύτηκε πριν κάτι χρόνια ( 6 αν δε κάνω λάθος ) στην εφημερίδα Έθνος ...


Θεωρούμε τη συνάρτηση f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} η οποία είναι παραγωγίσιμη στο x_0=3 καθώς επίσης και τη συνάρτηση

\displaystyle{g(x)= \left\{\begin{matrix} 
	f\left ( 27-12x \right ) & , & x<2 \\  
	f\left ( 11-x^3 \right )& , & x \geq 2  
	\end{matrix}\right.}
  1. Να δειχθεί ότι η g είναι παραγωγίσιμη στο x_0=2.
  2. Αν είναι f(3)=f'(3)=-\frac{1}{4} να βρεθεί η εξίσωση της εφαπτομένης της g στο σημείο {\mathrm B} \left(2 , g(2) \right).
  3. Σημείο \Sigma (x, y) με x, y>0 κινείται επί της προηγούμενης ευθείας και πλησιάζει τον άξονα x'x με ρυθμό 1 \frac{{\mathrm m}}{{\mathrm sec}}. Να βρεθεί ο ρυθμός μεταβολής της απόστασης \Sigma {\mathrm O} τη χρονική στιγμή κατά την οποία το \Sigma διέρχεται από το σημείο με τεταγμένη μηδέν.


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}

Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
exdx
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1406
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 6:00 pm
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης
Επικοινωνία:

Re: Παράγωγος και ρυθμός μεταβολής

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από exdx » Δευ Νοέμ 12, 2018 12:56 pm

ii) Παίρνοντας τα πλευρικά όρια:
\displaystyle \begin{gathered} 
  \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} \frac{{g(x) - g(2)}}{{x - 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} \frac{{f(27 - 12x) - f(3)}}{{x - 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} \frac{{f(27 - 12x) - f(3)}}{{(27 - 12x) - 3}}\left( {\frac{{24 - 12x}}{{x - 2}}} \right) =  - 12f'(3) \hfill \\ 
   \hfill \\ 
  \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \frac{{g(x) - g(2)}}{{x - 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \frac{{f(11 - {x^3}) - f(3)}}{{x - 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \frac{{f(11 - {x^3}) - f(3)}}{{(11 - {x^3}) - 3}}\left( {\frac{{8 - {x^3}}}{{x - 2}}} \right) =  - 12f'(3) \hfill \\  
\end{gathered}
(Έγιναν οι κατάλληλες αντικαταστάσεις ) . Άρα \displaystyle {g}'(2)=-12{f}'(3)
ιι) Η εξίσωση της εφαπτομένης
\displaystyle \begin{gathered} 
  y - g(2) = g'(2)(x - 2) \Leftrightarrow y - f(3) =  - 12f'(3)(x - 3) \Leftrightarrow  \hfill \\ 
   \Leftrightarrow y + \frac{1}{4} =  - 12\left( { - \frac{1}{4}} \right)(x - 3) \Leftrightarrow y = 3x + \frac{{35}}{4} \hfill \\  
\end{gathered}
iii) Έστω \displaystyle \Sigma (x(t),y(t)) . Τότε : \displaystyle y(t)=3x(t)+\frac{35}{4}\,\,\,\,\,\Rightarrow \,\,\,{y}'(t)=3{x}'(t)
Είναι : \displaystyle {y}'(t)=-1m/s\,\,\Rightarrow {x}'(t)=-\frac{1}{3}m/s,\,\,\,\,\,y({{t}_{0}})=0,x({{t}_{0}})=-\frac{35}{12}
Έστω \displaystyle {\mathrm O}\Sigma =a(t)\Rightarrow a({{t}_{0}})=\sqrt{{{y}^{2}}({{t}_{0}}))+{{x}^{2}}({{t}_{0}})}=\frac{35}{12}
Με πυθαγόρειο θεώρημα :
\displaystyle \begin{gathered} 
  {a^2}(t) = {y^2}(t)) + {x^2}(t) \Rightarrow 2a(t)a'(t) = 2y(t)y'(t) + 2x(t)x'(t) \Rightarrow  \hfill \\ 
   \Rightarrow a'({t_0}) = \frac{{0 \cdot ( - 1) + \left( { - \frac{{35}}{{12}}} \right)\left( { - \frac{1}{3}} \right)}}{{\frac{{35}}{{12}}}} = \frac{1}{3}m/s \hfill \\  
\end{gathered}


Kαλαθάκης Γιώργης
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες