Ισότητα συναρτήσεων

ann79 · #1

Αν οι συναρτήσεις $f,g:R\rightarrow R$ είναι δύο φορές παραγωγίσιμες στο

και ισχύει f''(x)+f(x)=g''(x)+g(x)

και οι γραφικές παραστάσεις των f,g

έχουν σε κοινό τους σημείο κοινή εφαπτομένη , να δείξετε ότι f(x)=g(x)

για κάθε

πραγματικό.

#2

ann79 έγραψε: ↑
Δευ Νοέμ 05, 2018 12:23 pm
Αν οι συναρτήσεις $f,g:R\rightarrow R$ είναι δύο φορές παραγωγίσιμες στο και ισχύει και οι γραφικές παραστάσεις των έχουν σε κοινό τους σημείο κοινή εφαπτομένη , να δείξετε ότι για κάθε πραγματικό.

Edit: Είχα ένα πρόσημο λάθος που χαλάει την λύση.
Την διορθώνω αλλά τώρα η λύση είναι εκτός σχολικής ύλης, πλην όμως στο επόμενο ποστ
γράφω νέα και απλή λύση εντός ύλης.

Αν h=f-g

η δοθείσα γράφεται $h''+h=0, \, h(a)=h'(a)=0$ για κάποιο

. Πρόκειται για πολλή γνωστή άσκηση. Εν πάσει περιπτώσει έχουμε
(h'+ih)'-i(h'+ih)=0

, δηλαδή της μορφής $k'-ik=0, \, k(a)=0$ , και άρα $(e^{-ix}k(x))'=0$ . Έπεται $e^{-ix}k(x)=c$ , και λοιπά. Bγαίνει k=0

από όπου

που όμοια με πριν (μέσω της $(e^{ix}h(x))'=0$ ) ότι h=0

.

#3

Όπως υποσχέθηκα στο προηγούμενο ποστ, γράφω απλή και εντός σχολικής ύλης λύση στην αρχική άσκηση.

Αν h=f-g

η δοθείσα γράφεται $h''+h=0, \, h(a)=h'(a)=0$ για κάποιο

. Παρατηρούμε ότι ισχύει

$\displaystyle{ [(h'(x) )^2+h^2(x)]' = 2h''(x)h'(x) + 2 h'(x)h(x) =2(h''(x)+h(x))h'(x)=0}$ .

Άρα η $\displaystyle{ (h'(x) )^2+h^2(x) }$ είναι σταθερή.

Από τις τιμές $\displaystyle{h(a)=h'(a)=0}$ έπεται ότι η σταθερά είναι

. Ειδικά $\displaystyle{h'(x) = h(x)=0}$ , και λοιπά.

Ευχαριστώ τον Σταύρο Παπαδόπουλο που μου επεσήμανε το λάθος πρόσημο στην αρχική λάθος λύση (που τώρα αντικαταστάθηκε με μία εντός και μία εκτός ύλης νέα λύση).

Ισότητα συναρτήσεων

Ισότητα συναρτήσεων

Re: Ισότητα συναρτήσεων

Re: Ισότητα συναρτήσεων

Μέλη σε σύνδεση