Σελίδα 1 από 1

Από κυρτή σε κυρτή

Δημοσιεύτηκε: Τετ Οκτ 31, 2018 1:23 pm
από exdx
Α. Δίνεται η συνάρτηση με τύπο \displaystyle f(x)=\left\{ \begin{matrix} 
   -\,\,\sqrt{{{e}^{x}}-x-1}\,\,\,\,,\,\,\,\,x\le 0  \\ 
   \,\,\,\,\,\sqrt{{{e}^{x}}-x-1}\,\,\,\,\,\,\,\,,\,\,x>0  \\ 
\end{matrix} \right.
α) Να αποδείξετε ότι είναι παραγωγίσιμη στο \displaystyle R.
β) Να αποδείξετε ότι είναι κυρτή στο \displaystyle R.

Β. Δίνεται η δύο φορές παραγωγίσιμη και κυρτή στο \displaystyle R συνάρτηση \displaystyle f και έστω ότι η ευθεία \displaystyle (\varepsilon ) με εξίσωση \displaystyle y=ax+b
εφάπτεται της \displaystyle {{C}_{f}} στο σημείο \displaystyle A(c,f(c)) .
α) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση με τύπο \displaystyle g(x)=\left\{ \begin{matrix} 
   -\sqrt{f(x)-ax-b},\,\,x\le c  \\ 
   \sqrt{f(x)-ax-b},\,\,\,\,x>c  \\ 
\end{matrix} \right. είναι παραγωγίσιμη στο \displaystyle R .
β) Αν επιπλέον η \displaystyle f είναι τρεις φορές παραγωγίσιμη στο \displaystyle R με \displaystyle {{f}^{(3)}}(x)\ge 0 , τότε η \displaystyle g είναι κυρτή στο \displaystyle R.

Υ.Γ. : (1/11, 10:36) Διόρθωσα την εκφώνηση με βάση τα σχόλια των συναδέλφων παρακάτω. Τους ευχαριστώ .

Re: Από κυρτή σε κυρτή

Δημοσιεύτηκε: Τετ Οκτ 31, 2018 11:51 pm
από Λάμπρος Κατσάπας
exdx έγραψε:
Τετ Οκτ 31, 2018 1:23 pm
Α. Δίνεται η συνάρτηση με τύπο \displaystyle f(x)=\left\{ \begin{matrix} 
   -\,\,\sqrt{{{e}^{x}}-x-1}\,\,\,\,,\,\,\,\,x\le 0  \\ 
   \,\,\,\,\,\sqrt{{{e}^{x}}-x-1}\,\,\,\,\,\,\,\,,\,\,x>0  \\ 
\end{matrix} \right.
α) Να αποδείξετε ότι είναι παραγωγίσιμη στο \displaystyle R.
β) Να αποδείξετε ότι είναι κυρτή στο \displaystyle R.

Β. Δίνεται η δύο φορές παραγωγίσιμη στο \displaystyle R συνάρτηση \displaystyle f και έστω ότι η ευθεία \displaystyle (\varepsilon ) με εξίσωση \displaystyle y=ax+b
εφάπτεται της \displaystyle {{C}_{f}} στο σημείο \displaystyle A(c,f(c)) .
α) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση με τύπο \displaystyle g(x)=\left\{ \begin{matrix} 
   -\sqrt{f(x)-ax-b},\,\,x\le c  \\ 
   \sqrt{f(x)-ax-b},\,\,\,\,x>c  \\ 
\end{matrix} \right. είναι παραγωγίσιμη στο \displaystyle R .
β) Αν επιπλέον η \displaystyle f είναι τρεις φορές παραγωγίσιμη και κυρτή στο \displaystyle R με \displaystyle {{f}^{(3)}}(x)\ge 0 , τότε η \displaystyle g είναι κυρτή στο \displaystyle R.

Υ.Γ. : Ενδεχομένως το τελευταίο ερώτημα να μπορεί να απαντηθεί μόνο με την απαίτηση η \displaystyle f να είναι δύο φορές παραγωγίσιμη
και κυρτή στο \displaystyle R .
Καλό βράδυ κ.Καλαθάκη. Στο Β, και όσον αφορά την g, νομίζω ότι πρέπει να μπουν κάποιοι περιορισμοί για την f π.χ. κυρτή .

Γράφω μια λύση για το Βα) με τη προυπόθεση ότι f κυρτή. Ισχύει το γενικό αποτέλεσμα

\lim_{x\rightarrow x_0} \frac{f(x)-f(x_0)-{f}'(x_0)(x-x_0)-\frac{{f}''(x_0)}{2}(x-x_0)^2}{(x-x_0)^2}=0

από το οποίο παίρνουμε αμέσως \lim_{x\rightarrow x_0} \frac{f(x)-f(x_0)-{f}'(x_0)(x-x_0)}{(x-x_0)^2}= \frac{{f}''(x_0)}{2}

Το παραπάνω προκύπτει από μια εφαρμογή του DLH. Έτσι λοιπόν έχουμε

\lim_{x\rightarrow c^{+}}\frac{g(x)-g(c)}{x-c}= \lim_{x\rightarrow c^{+}}\frac{\sqrt{f(x)-ax-b}}{x-c} =\lim_{x\rightarrow c^{+}}\sqrt{\frac{f(x)-ax-b}{(x-c)^2}}=\sqrt{\frac{{f}''(c)}{2}}

και

\lim_{x\rightarrow c^{-}}\frac{g(x)-g(c)}{x-c}= \lim_{x\rightarrow c^{-}}-\frac{\sqrt{f(x)-ax-b}}{x-c} = lim_{x\rightarrow c^{-}}\frac{\sqrt{f(x)-ax-b}}{c-x} = \lim_{x\rightarrow c^{-}}\sqrt{\frac{f(x)-ax-b}{(x-c)^2}}

=\sqrt{\frac{{f}''(c)}{2}}.

Άρα g παραγωγίσιμη στο c και κατά τα γνωστά παραγωγίσιμη και σε όλα τα υπόλοιπα σημεία.

Edit: Μια εφαρμογή του DLH όχι δύο. Ευχαριστώ τον κ.Καλαθάκη για την παρατήρηση.

Re: Από κυρτή σε κυρτή

Δημοσιεύτηκε: Πέμ Νοέμ 01, 2018 1:58 am
από KAKABASBASILEIOS
exdx έγραψε:
Τετ Οκτ 31, 2018 1:23 pm
Α. Δίνεται η συνάρτηση με τύπο \displaystyle f(x)=\left\{ \begin{matrix} 
   -\,\,\sqrt{{{e}^{x}}-x-1}\,\,\,\,,\,\,\,\,x\le 0  \\ 
   \,\,\,\,\,\sqrt{{{e}^{x}}-x-1}\,\,\,\,\,\,\,\,,\,\,x>0  \\ 
\end{matrix} \right.
α) Να αποδείξετε ότι είναι παραγωγίσιμη στο \displaystyle R.
β) Να αποδείξετε ότι είναι κυρτή στο \displaystyle R.

...μια αντιμετώπιση στο ενδιαφέρον θέμα του Γιώργη...όπως πάντα...

α. Είναι προφανώς η f παραγωγίσιμη για x\ne 0 με {f}'(x)=\left\{ \begin{matrix} 
   -\frac{{{e}^{x}}-1}{2\sqrt{{{e}^{x}}-x-1}},x<0  \\ 
   \frac{{{e}^{x}}-1}{2\sqrt{{{e}^{x}}-x-1}},x>0  \\ 
\end{matrix} \right. ή

{f}'(x)=\left\{ \begin{matrix} 
   \frac{{{e}^{x}}-1}{2f(x)},x<0  \\ 
   \frac{{{e}^{x}}-1}{2f(x)},x>0  \\ 
\end{matrix} \right. επομένως

{f}'(x)=\frac{{{e}^{x}}-1}{2f(x)},\,\,\,x\ne 0 και στο x=0 έχουμε

\underset{x\to {{0}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{f(x)-f(0)}{x}=\underset{x\to {{0}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{\sqrt{{{e}^{x}}-x-1}}{-x}=\underset{x\to {{0}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{\sqrt{{{e}^{x}}-x-1}}{|x|}=\underset{x\to {{0}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,\sqrt{\frac{{{e}^{x}}-x-1}{{{x}^{2}}}} και επειδή

\underset{x\to {{0}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{{{e}^{x}}-x-1}{{{x}^{2}}}\underset{DLH}{\overset{\frac{0}{0}}{\mathop{=}}}\,\underset{x\to {{0}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{{{e}^{x}}-1}{2x}=\frac{1}{2} άρα

\underset{x\to {{0}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{f(x)-f(0)}{x}=\sqrt{\frac{1}{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2} και \underset{x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{f(x)-f(0)}{x}=\underset{x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{\sqrt{{{e}^{x}}-x-1}}{x}=\underset{x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{\sqrt{{{e}^{x}}-x-1}}{|x|}=\underset{x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\sqrt{\frac{{{e}^{x}}-x-1}{{{x}^{2}}}} και επειδή

\underset{x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{{{e}^{x}}-x-1}{{{x}^{2}}}\underset{DLH}{\overset{\frac{0}{0}}{\mathop{=}}}\,\underset{x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{{{e}^{x}}-1}{2x}=\frac{1}{2} άρα \underset{x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{f(x)-f(0)}{x}=\sqrt{\frac{1}{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2} επομένως παραγωγίσιμη και στο x=0 με {f}'(0)=\frac{\sqrt{2}}{2}

β. Τώρα η {f}'(x)=\frac{{{e}^{x}}-1}{2f(x)},\,\,\,x\ne 0 είναι παραγωγίσιμη ως πράξεις παραγωγίσιμων και από

2f(x){f}'(x)={{e}^{x}}-1,\,\,\,x\ne 0 παραγωγίζοντας έχουμε ότι 2{f}'(x){f}'(x)+2f(x){f}''(x)={{e}^{x}}\Leftrightarrow 2f(x){f}''(x)={{e}^{x}}-2{{({f}'(x))}^{2}}=

={{e}^{x}}-\frac{{{({{e}^{x}}-1)}^{2}}}{2{{f}^{2}}(x)}=\frac{2{{e}^{x}}{{f}^{2}}(x)-{{e}^{2x}}+2{{e}^{x}}-1}{2{{f}^{2}}(x)}=\frac{2{{e}^{x}}({{e}^{x}}-x-1)-{{e}^{2x}}+2{{e}^{x}}-1}{2{{f}^{2}}(x)}=

=\frac{{{e}^{2x}}-2x{{e}^{x}}-1}{2{{f}^{2}}(x)} και τελικά {f}''(x)=\frac{{{e}^{2x}}-2x{{e}^{x}}-1}{4{{f}^{3}}(x)},\,\,x\ne 0

Τώρα για την συνάρτηση g(x)={{e}^{2x}}-2x{{e}^{x}}-1,\,\,x\in R είναι g(0)=0 και

{g}'(x)=2{{e}^{2x}}-2{{e}^{x}}-2x{{e}^{x}}=2{{e}^{x}}({{e}^{x}}-1-x)>0,\,\,x\ne 0 άρα η g είναι γνήσια αύξουσα στο R επομένως για

x<0\Rightarrow g(x)<0 και για x>0\Rightarrow g(x)>0 έτσι η {f}''(x)=\frac{g(x)}{4{{f}^{3}}(x)},\,\,x\ne 0

είναι για x<0 αφού και f(x)<0 είναι {f}''(x)>0 και για x>0 αφού και f(x)>0 είναι {f}''(x)>0

Επιπλέον επειδή \underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,{f}'(x)=\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{{{e}^{x}}-1}{2f(x)}=\frac{1}{2}\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{\frac{{{e}^{x}}-1}{x}}{\frac{f(x)}{x}}=\frac{1}{2}\frac{1}{{f}'(0)}=\frac{\sqrt{2}}{2}={f}'(0)η {f}'

είναι συνεχής και επειδή {f}''(x)>0 για x\ne 0 είναι γνήσια αύξουσα οπότε σύμφωνα με τον ορισμό κυρτή στο R

....τώρα :sleeping: :sleeping: :sleeping:

Φιλικά και Μαθηματικά
Βασίλης

Re: Από κυρτή σε κυρτή

Δημοσιεύτηκε: Πέμ Νοέμ 01, 2018 9:15 am
από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
exdx έγραψε:
Τετ Οκτ 31, 2018 1:23 pm
Α. Δίνεται η συνάρτηση με τύπο \displaystyle f(x)=\left\{ \begin{matrix} 
   -\,\,\sqrt{{{e}^{x}}-x-1}\,\,\,\,,\,\,\,\,x\le 0  \\ 
   \,\,\,\,\,\sqrt{{{e}^{x}}-x-1}\,\,\,\,\,\,\,\,,\,\,x>0  \\ 
\end{matrix} \right.
α) Να αποδείξετε ότι είναι παραγωγίσιμη στο \displaystyle R.
β) Να αποδείξετε ότι είναι κυρτή στο \displaystyle R.

Β. Δίνεται η δύο φορές παραγωγίσιμη στο \displaystyle R συνάρτηση \displaystyle f και έστω ότι η ευθεία \displaystyle (\varepsilon ) με εξίσωση \displaystyle y=ax+b
εφάπτεται της \displaystyle {{C}_{f}} στο σημείο \displaystyle A(c,f(c)) .
α) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση με τύπο \displaystyle g(x)=\left\{ \begin{matrix} 
   -\sqrt{f(x)-ax-b},\,\,x\le c  \\ 
   \sqrt{f(x)-ax-b},\,\,\,\,x>c  \\ 
\end{matrix} \right. είναι παραγωγίσιμη στο \displaystyle R .
β) Αν επιπλέον η \displaystyle f είναι τρεις φορές παραγωγίσιμη και κυρτή στο \displaystyle R με \displaystyle {{f}^{(3)}}(x)\ge 0 , τότε η \displaystyle g είναι κυρτή στο \displaystyle R.

Υ.Γ. : Ενδεχομένως το τελευταίο ερώτημα να μπορεί να απαντηθεί μόνο με την απαίτηση η \displaystyle f να είναι δύο φορές παραγωγίσιμη
και κυρτή στο \displaystyle R .
Παρατηρήσεις.

Το Βα) χωρίς την υπόθεση ότι η συνάρτηση είναι κυρτή είναι χωρίς νόημα.

Αν f(x)=1-x^{2} και c=0 τότε η g δεν ορίζεται στο \displaystyle R .

Στο Ββ) η υπόθεση \displaystyle {{f}^{(3)}}(x)\ge 0

είναι απαραίτητη.

Για την f(x)=e^{-x} δεν ισχύει.