Εύρεση ορίου

ann79 · #1

Έστω $f:R\rightarrow R$ με συνεχή δεύτερη παράγωγο για την οποία ισχύουν f'(1)=4, f(1)=-1

. Να υπολογίσετε το όριο
$lim_{x\rightarrow 0}\frac{xf(e^{x})+sinx}{x^{2}+sin^{2}x}$ .

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #2

ann79 έγραψε: ↑
Τρί Οκτ 23, 2018 11:50 am
Έστω $f:R\rightarrow R$ με συνεχή δεύτερη παράγωγο για την οποία ισχύουν . Να υπολογίσετε το όριο
$lim_{x\rightarrow 0}\frac{xf(e^{x})+sinx}{x^{2}+sin^{2}x}$ .

Θα το κάνω χωρίς να χρησιμοποιήσω δεύτερη παράγωγο.

Επειδή παραγωγίζεται στο

υπάρχει συνάρτηση που ορίζεται κοντά στο

ώστε

και $\lim_{t\rightarrow 1}g(t)=0$

(ορισμός παραγώγου )

Ετσι έχουμε $f(e^{x})=f(1)+f'(1)(e^{x}-1)+g(e^{x})(e^{x}-1)$

για

κοντά στο

Αντικαθιστώντας τις τιμές

το κλάσμα γράφεται $\dfrac{4x(e^{x}-1)+g(e^{x})x(e^{x}-1)+sinx-x}{x^{2}+sin^{2}x}$

διαιρώντας όλα με $x^{2}$

παίρνουμε $\dfrac{4(e^{x}-1)\frac{1}{x}+g(e^{x})(e^{x}-1)\frac{1}{x}+\frac{sinx-x}{x^{2}}}{1+\frac{sin^{2}x}{x^{2}}}$

Επειδή
$\lim_{x\rightarrow 0}\frac{e^{x}-1}{x}=1$

$\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\sin x}{x}=1$

$\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\sin x-x}{x^{2}}=0$

παίρνοντας $x\rightarrow 0$

το ζητούμενο όριο είναι $\frac{4}{2}=2$

#3

ann79 έγραψε: ↑
Τρί Οκτ 23, 2018 11:50 am
Έστω $f:R\rightarrow R$ με συνεχή δεύτερη παράγωγο για την οποία ισχύουν . Να υπολογίσετε το όριο
$lim_{x\rightarrow 0}\frac{xf(e^{x})+sinx}{x^{2}+sin^{2}x}$ .

Κάνουμε l' Hospital στην περίπτωση 0/0

. Μας οδηγεί, με παραγώγιση σύνθετης, στην εύρεση του ορίου

$\displaystyle{ \frac{f(e^{x})+xe^xf'(e^x) + \cos x}{2x + 2\sin x \cos x}= \frac{f(e^{x})+ \cos x}{2x + 2\sin x \cos x}+ \frac{xe^xf'(e^x)}{2x + 2\sin x \cos x}}$

Παίρνουμε όριο στα δύο κλάσματα χωριστά. Το πρώτο είναι πάλι περίπτωση 0/0

οπότε εξετάζουμε το

$\displaystyle{ \frac{e^xf'(e^{x}) - \sin x} {2 + 2 \cos ^2x - 2\sin ^2 x}\to \frac {1\cdot 4-0}{2+2-0}= 1}$

και το δεύτερο γράφεται $\displaystyle{ \frac{e^xf'(e^x)}{2 + 2\frac {\sin x}{x} \cos x}\to \frac{4}{2 + 2\cdot 1 \cdot 1}= 1}$

Όλο μαζί τείνει στο

.

Εύρεση ορίου

Εύρεση ορίου

Re: Εύρεση ορίου

Re: Εύρεση ορίου

Μέλη σε σύνδεση