Ρίζα παραγώγου

Συντονιστής: KAKABASBASILEIOS

Άβαταρ μέλους
pito
Δημοσιεύσεις: 1734
Εγγραφή: Τρί Μάιος 18, 2010 10:41 pm
Τοποθεσία: mathematica

Ρίζα παραγώγου

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από pito » Τρί Οκτ 16, 2018 12:29 pm

Έστω συνάρτηση f παραγωγίσιμη στο [1,4] για την οποία ισχύει f(1)+f(2)=f(3)+f(4). Να δείξετε ότι υπάρχει τουλάχιστον ένα x_{o}\epsilon (1,4) τέτοιο ώστε f'(x_{o})=0.


1. Δεν διδάσκουμε με αυτό που λέμε και κάνουμε. Διδάσκουμε με αυτό που είμαστε.
2. Ο μέτριος δάσκαλος περιγράφει. Ο καλός δάσκαλος εξηγεί. Ο σωστός δάσκαλος αποδεικνύει. Ο σπουδαίος δάσκαλος εμπνέει. ( Γουίλιαμ Γουάρντ)

Λέξεις Κλειδιά:
ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 2021
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Ρίζα παραγώγου

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Τρί Οκτ 16, 2018 1:01 pm

pito έγραψε:
Τρί Οκτ 16, 2018 12:29 pm
Έστω συνάρτηση f παραγωγίσιμη στο [1,4] για την οποία ισχύει f(1)+f(2)=f(3)+f(4). Να δείξετε ότι υπάρχει τουλάχιστον ένα x_{o}\epsilon (1,4) τέτοιο ώστε f'(x_{o})=0.
Κάνω μία λύση.
Υπάρχει και δεύτερη.

Η f σαν συνεχής παίρνει μέγιστη και ελάχιστη τιμή στο [1,4].

Αν ένα από τα σημεία που παίρνει μέγιστη η ελάχιστη τιμή είναι στο (1,4)

τότε σε αυτό από σχετικό θεώρημα θα μηδενίζεται η παράγωγος και καθαρίσαμε.

Αρα τα σημεία που η f παίρνει μέγιστη ελάχιστη τιμή αναγκαστικά ανήκουν στο \left \{ 1,4 \right \}.


Θα έχουμε λοιπόν ότι για x\in (1,4)

f(1)< f(x)< f(4)

η f(1)>f(x)> f(4)

στην πρώτη περίπτωση έχουμε f(1)+f(3)< f(2)+f(3)< f(2)+f(4)

ΑΤΟΠΟ.

´Ομοια και στην δεύτερη περίπτωση.


Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 10481
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Ρίζα παραγώγου

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Τρί Οκτ 16, 2018 2:04 pm

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε:
Τρί Οκτ 16, 2018 1:01 pm
Υπάρχει και δεύτερη.
Με πρόλαβε ο Σταύρος, κάνοντας παρόμοια λύση με αυτή που είχα κατά νου. Ακολουθώ όμως
το σχόλιό του δίνοντας δεύτερη λύση, πλην όμως είναι λίγο εκτός ύλης (αν και επιδιορθώνεται εύκολα).

Η δοθείσα γράφεται \displaystyle{ \frac {f(3)-f(1)}{3-1}= - \frac {f(4)-f(2)}{4-2}}. Από ΘΜΤ υπάρχουν \xi _1, \xi _2 στα ενδιάμεσα με
\displaystyle{f'(\xi _1)= \frac {f(3)-f(1)}{3-1}, \, f'(\xi _2)=  \frac {f(4)-f(2)}{4-2}} και άρα \displaystyle{f'(\xi _1)=- f'(\xi _2)}

Αν \displaystyle{f'(\xi _1)=- f'(\xi _2)=0 } , τελειώσαμε. Αλλιώς η μία παράγωγος είναι γνήσια θετική και η άλλη γνήσια αρνητική. Το ζητούμενο
τώρα έπεται από Darboux.


ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 2021
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Ρίζα παραγώγου

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Τρί Οκτ 16, 2018 2:08 pm

Mihalis_Lambrou έγραψε:
Τρί Οκτ 16, 2018 2:04 pm
ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε:
Τρί Οκτ 16, 2018 1:01 pm
Υπάρχει και δεύτερη.
Με πρόλαβε ο Σταύρος, κάνοντας παρόμοια λύση με αυτή που είχα κατά νου. Ακολουθώ όμως
το σχόλιό του δίνοντας δεύτερη λύση, πλην όμως είναι λίγο εκτός ύλης (αν και επιδιορθώνεται εύκολα).

Η δοθείσα γράφεται \displaystyle{ \frac {f(3)-f(1)}{3-1}= - \frac {f(4)-f(2)}{4-2}}. Από ΘΜΤ υπάρχουν \xi _1, \xi _2 στα ενδιάμεσα με
\displaystyle{f'(\xi _1)= \frac {f(3)-f(1)}{3-1}, \, f'(\xi _2)=  \frac {f(4)-f(2)}{4-2}} και άρα \displaystyle{f'(\xi _1)=- f'(\xi _2)}

Αν \displaystyle{f'(\xi _1)=- f'(\xi _2)=0 } , τελειώσαμε. Αλλιώς η μία παράγωγος είναι γνήσια θετική και η άλλη γνήσια αρνητική. Το ζητούμενο
τώρα έπεται από Darboux.
Δεν είχα αυτή σαν δεύτερη λύση.

Αρα υπάρχει και τρίτη λύση και είναι εντός ύλης.


Μιχάλης Τσουρακάκης
Δημοσιεύσεις: 1471
Εγγραφή: Παρ Ιαν 11, 2013 4:17 am
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης

Re: Ρίζα παραγώγου

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μιχάλης Τσουρακάκης » Τρί Οκτ 16, 2018 5:16 pm

pito έγραψε:
Τρί Οκτ 16, 2018 12:29 pm
Έστω συνάρτηση f παραγωγίσιμη στο [1,4] για την οποία ισχύει f(1)+f(2)=f(3)+f(4). Να δείξετε ότι υπάρχει τουλάχιστον ένα x_{o}\epsilon (1,4) τέτοιο ώστε f'(x_{o})=0.

H \displaystyle g(x) = f(x + 2) - f(x) με \displaystyle 1 \leqslant x \leqslant 2 είναι προφανώς ορισμένη και παραγωγίσιμη στο \displaystyle \left[ {1,4} \right] άρα και συνεχής

\displaystyle g(1) + g(2) = f(3) - f(1) + f(4) - f(2) = 0\displaystyle  \Rightarrow g(1) \cdot g(2) =  - {g^2}(2) \leqslant 0

Αν \displaystyle g(2) = 0 τότε \displaystyle f(4) = f(2) και με Rolle στο \displaystyle \left[ {2,4} \right] τελειώσαμε

Αν \displaystyle g(2) \ne 0 τότε \displaystyle g(1) \cdot g(2) < 0 και με Bolzano στο \displaystyle \left[ {1,2} \right] θα υπάρχει \displaystyle \xi  \in \left( {1,2} \right) με \displaystyle g(\xi ) = 0 \Rightarrow f(\xi  + 2) = f\left( \xi  \right)

Τώρα με Rolle στο \displaystyle \left[ {\xi ,\xi  + 2} \right] υπάρχει \displaystyle m \in \left( {\xi ,\xi  + 2} \right) \subseteq \left( {1,4} \right) με \displaystyle f'(m) = 0
τελευταία επεξεργασία από Μιχάλης Τσουρακάκης σε Τρί Οκτ 16, 2018 7:02 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


Άβαταρ μέλους
R BORIS
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2098
Εγγραφή: Σάβ Ιαν 03, 2009 8:08 am
Επικοινωνία:

Re: Ρίζα παραγώγου

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από R BORIS » Τρί Οκτ 16, 2018 6:07 pm

Αν η παράγωγος δεν μηδενιζόταν στο \displaystyle{[1,4]} θα είχε σταθερό πρόσημο άρα η \displaystyle{f} θα είταν γνησια μονότονη οπότε \displaystyle{f(1)+f(2)<f(3)+f(4)}\displaystyle{>}) άτοπο


Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 10481
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Ρίζα παραγώγου

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Τρί Οκτ 16, 2018 6:26 pm

R BORIS έγραψε:
Τρί Οκτ 16, 2018 6:07 pm
Αν η παράγωγος δεν μηδενιζόταν στο \displaystyle{[1,4]} θα είχε σταθερό πρόσημο άρα η \displaystyle{f} θα είταν γνησια μονότονη οπότε \displaystyle{f(1)+f(2)<f(3)+f(4)}\displaystyle{>}) άτοπο
Σωστά. Προσοχή όμως, στο κοκκινισμένο υπάρχει κρυμμένος ο Darboux.


Λάμπρος Κατσάπας
Δημοσιεύσεις: 214
Εγγραφή: Σάβ Ιουν 17, 2017 10:17 pm
Τοποθεσία: Αθήνα

Re: Ρίζα παραγώγου

#8

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Λάμπρος Κατσάπας » Τρί Οκτ 16, 2018 10:45 pm

pito έγραψε:
Τρί Οκτ 16, 2018 12:29 pm
Έστω συνάρτηση f παραγωγίσιμη στο [1,4] για την οποία ισχύει f(1)+f(2)=f(3)+f(4). Να δείξετε ότι υπάρχει τουλάχιστον ένα x_{o}\epsilon (1,4) τέτοιο ώστε f'(x_{o})=0.
Άλλη μια στα όρια...

Έστω ότι δεν υπάρχει ρίζα της παραγώγου (1,4). Τότε η f είναι 1-1. Πράγματι, αν δεν ήταν τότε θα υπήρχαν

x_1,x_2 στο (1,4) με x_1\neq x_2 ώστε f(x_1)=f( x_2) και από Rolle στο [x_1,x_2] θα

οδηγούμασταν σε άτοπο.Άρα η f είναι 1-1 και ως παραγωγίσιμη είναι και συνεχής. Από γνωστή (;;;) πρόταση θα είναι γνησίως

μονότονη στο (1,4) και επειδή είναι συνεχής στο [1,4] θα είναι τελικά γνησίως μονότονη στο [1,4] . Αν είναι γνησίως αύξουσα τότε

f(1)<f(3) και f(2)<f(4)\Rightarrow f(1)+f(2)<f(3)+f(4) (άτοπο). Όμοια καταλήγουμε σε άτοπο αν υποθέσουμε ότι είναι γνησίως

φθίνουσα. Άρα η παράγωγος έχει ρίζα στο (1,4).


ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 2021
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Ρίζα παραγώγου

#9

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Τετ Οκτ 17, 2018 12:08 am

Ας κάνω την άλλη λύση που είχα.

Είναι φανερό ότι θέλουμε η συνάρτηση να μην είναι 1-1 .

Αυτό προκύπτει εύκολα από την  f(1)+f(2)=f(3)+f(4)

Ολα τα λεφτά είναι να διαιρέσουμε με 2.

Δηλαδή να την γράψουμε \dfrac{f(1)+f(2)}{2}=\dfrac{f(3)+f(4)}{2}

Από το ΘΕΤ υπάρχει t_{1}\in [1,2] με f(t_{1})=\dfrac{f(1)+f(2)}{2}

και t_{2}\in [3,4] με f(t_{2})=\dfrac{f(3)+f(4)}{2}

Ετσι t_{1}\neq t_{2},f(t_{1})=f(t_{2})

Ενα Rolle στο [t_{1},t_{2}]

και καθαρίσαμε.


Άβαταρ μέλους
pito
Δημοσιεύσεις: 1734
Εγγραφή: Τρί Μάιος 18, 2010 10:41 pm
Τοποθεσία: mathematica

Re: Ρίζα παραγώγου

#10

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από pito » Τετ Οκτ 17, 2018 11:36 am

Σας ευχαριστώ θερμά όλους για την ενασχόλησή σας.


1. Δεν διδάσκουμε με αυτό που λέμε και κάνουμε. Διδάσκουμε με αυτό που είμαστε.
2. Ο μέτριος δάσκαλος περιγράφει. Ο καλός δάσκαλος εξηγεί. Ο σωστός δάσκαλος αποδεικνύει. Ο σπουδαίος δάσκαλος εμπνέει. ( Γουίλιαμ Γουάρντ)
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης