Απόδειξη παραγωγισιμότητας

pito · #1

Καλημέρα

Έστω η συνάρτηση $f:R\rightarrow R$ για την οποία ισχύει $e^{f(x)}+f(x)=x$ για κάθε

πραγματικό.Να δείξετε ότι η

είναι παραγωγίσιμη στο

.

Ευχαριστώ.

#2

pito έγραψε: ↑
Τρί Οκτ 09, 2018 10:47 am
Καλημέρα

Έστω η συνάρτηση $f:R\rightarrow R$ για την οποία ισχύει $e^{f(x)}+f(x)=x$ για κάθε πραγματικό.Να δείξετε ότι η είναι παραγωγίσιμη στο .

Πρέπει να γνωρίζουμε ότι η αντίστροφη αντιστρέψιμης παραγωγίσιμης συνάρτησης είναι παραγωγίσιμη (δεν ξέρω αν είναι εντός σχολικής ύλης).

Εδώ για την g(x) = e^x+x

είναι

, οπότε $f(x)=g^{-1}(x)$ . Από κει και πέρα οι λεπτομέρειες απλές.

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #3

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Τρί Οκτ 09, 2018 11:26 am

Πρέπει να γνωρίζουμε ότι η αντίστροφη αντιστρέψιμης παραγωγίσιμης συνάρτησης είναι παραγωγίσιμη (δεν ξέρω αν είναι εντός σχολικής ύλης).

Είναι εκτός σχολικής ύλης.

Ετσι όπως το έχει γράψει ο Μιχάλης δεν είναι ακριβές.

π,χ η $f(x)=x^{3}$ είναι παραγωγίσημη ενώ η αντίστροφή της $f^{-1}(x)=\sqrt[3]{x}$ δεν παραγωγίζεται στο

.

Το ακριβές είναι ότι το $(f^{-1})'(f(x_{0}))$

υπάρχει όταν $f'(x_{0})\neq 0$ .

Στην συγκεκριμένη δεν έχουμε πρόβλημα γιατί η

είναι η αντίστροφη της $g(x)=x+e^{x}$
και προφανώς $g'(x)=1+e^{x}\neq 0$

Θα μπορούσαμε να αποδείξουμε την παραγωγισιμότητα της συγκεκριμένης με σχολική ύλη.
Σε καμία περίπτωση μια τέτοια απόδειξη δεν είναι στο πνεύμα της σχολικής ύλης.

Λάμπρος Κατσάπας · #4

pito έγραψε: ↑
Τρί Οκτ 09, 2018 10:47 am
Καλημέρα

Έστω η συνάρτηση $f:R\rightarrow R$ για την οποία ισχύει $e^{f(x)}+f(x)=x$ για κάθε πραγματικό.Να δείξετε ότι η είναι παραγωγίσιμη στο .

Ευχαριστώ.

Είναι εύκολο να δείξουμε ότι η

είναι

. Λίγο πιο δύσκολο είναι είναι να δείξουμε ότι είναι συνεχής.

Αν παρατηρήσουμε την αντίστροφη θα δούμε ότι αυτή ικανοποιεί τη σχέση $|f^{-1}(y)-f^{-1}(y_0)|>|y-y_0|$

οπότε με την αλλαγή $f^{-1}(y)=x,f^{-1}(y_0)=x_0$ και τo ΚΠ παίρνουμε τη συνέχεια της

.

Για την παραγωγισιμότητα έχουμε ότι για $x\neq x_0$ είναι $\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=1- \frac{e^{f(x)}-e^{f(x_0)}}{x-x_0}$

και επειδή η

είναι

θα είναι $f(x)\neq f(x_0)$ κοντά στο x_0

.

Επομένως η τελευταία μας δίνει

$\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=1- \frac{e^{f(x)}-e^{f(x_0)}}{f(x)-f(x_0)} \cdot \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} \Rightarrow \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} = \frac{1}{1+\frac{e^{f(x)}-e^{f(x_0)}}{f(x)-f(x_0)}} .$

(Ο παρονομαστής δεν μηδενίζεται καθώς η εκθετική διατηρεί τη διάταξη των f(x),f(x_0)

δηλαδή το κλάσμα στον παρονομαστή είναι θετικό)

Από τη συνέχεια της

κάνοντας αλλαγή μεταβλητής παίρνουμε $\lim_{x\rightarrow x_0}\frac{e^{f(x)}-e^{f(x_0)}}{f(x)-f(x_0)}= \lim_{y\rightarrow f(x_0)}\frac{e^{y}-e^{f(x_0)}}{y-f(x_0)}=e^{f(x_0)}.$

Άρα $\lim_{x\rightarrow x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=\frac{1}{1+e^{f(x_0)}}.$

pito · #5

Σας ευχαριστώ θερμά για τις απαντήσεις σας.

Απόδειξη παραγωγισιμότητας

Απόδειξη παραγωγισιμότητας

Re: Απόδειξη παραγωγισιμότητας

Re: Απόδειξη παραγωγισιμότητας

Re: Απόδειξη παραγωγισιμότητας

Re: Απόδειξη παραγωγισιμότητας

Μέλη σε σύνδεση