Απόδειξη παραγωγισιμότητας

Συντονιστής: KAKABASBASILEIOS

Άβαταρ μέλους
pito
Δημοσιεύσεις: 1738
Εγγραφή: Τρί Μάιος 18, 2010 10:41 pm
Τοποθεσία: mathematica

Απόδειξη παραγωγισιμότητας

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από pito » Τρί Οκτ 09, 2018 10:47 am

Καλημέρα :logo:

Έστω η συνάρτηση f:R\rightarrow R για την οποία ισχύει e^{f(x)}+f(x)=x για κάθε x πραγματικό.Να δείξετε ότι η f είναι παραγωγίσιμη στο R.

Ευχαριστώ.


1. Δεν διδάσκουμε με αυτό που λέμε και κάνουμε. Διδάσκουμε με αυτό που είμαστε.
2. Ο μέτριος δάσκαλος περιγράφει. Ο καλός δάσκαλος εξηγεί. Ο σωστός δάσκαλος αποδεικνύει. Ο σπουδαίος δάσκαλος εμπνέει. ( Γουίλιαμ Γουάρντ)

Λέξεις Κλειδιά:
Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 10678
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Απόδειξη παραγωγισιμότητας

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Τρί Οκτ 09, 2018 11:26 am

pito έγραψε:
Τρί Οκτ 09, 2018 10:47 am
Καλημέρα :logo:

Έστω η συνάρτηση f:R\rightarrow R για την οποία ισχύει e^{f(x)}+f(x)=x για κάθε x πραγματικό.Να δείξετε ότι η f είναι παραγωγίσιμη στο R.
Πρέπει να γνωρίζουμε ότι η αντίστροφη αντιστρέψιμης παραγωγίσιμης συνάρτησης είναι παραγωγίσιμη (δεν ξέρω αν είναι εντός σχολικής ύλης).

Εδώ για την g(x) = e^x+x είναι g(f(x))=x, οπότε f(x)=g^{-1}(x). Από κει και πέρα οι λεπτομέρειες απλές.


ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 2058
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Απόδειξη παραγωγισιμότητας

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Τρί Οκτ 09, 2018 12:14 pm

Mihalis_Lambrou έγραψε:
Τρί Οκτ 09, 2018 11:26 am

Πρέπει να γνωρίζουμε ότι η αντίστροφη αντιστρέψιμης παραγωγίσιμης συνάρτησης είναι παραγωγίσιμη (δεν ξέρω αν είναι εντός σχολικής ύλης).
Είναι εκτός σχολικής ύλης.

Ετσι όπως το έχει γράψει ο Μιχάλης δεν είναι ακριβές.

π,χ η f(x)=x^{3}είναι παραγωγίσημη ενώ η αντίστροφή της f^{-1}(x)=\sqrt[3]{x} δεν παραγωγίζεται στο 0.

Το ακριβές είναι ότι το (f^{-1})'(f(x_{0}))

υπάρχει όταν f'(x_{0})\neq 0.

Στην συγκεκριμένη δεν έχουμε πρόβλημα γιατί η f είναι η αντίστροφη της g(x)=x+e^{x}
και προφανώς g'(x)=1+e^{x}\neq 0

Θα μπορούσαμε να αποδείξουμε την παραγωγισιμότητα της συγκεκριμένης με σχολική ύλη.
Σε καμία περίπτωση μια τέτοια απόδειξη δεν είναι στο πνεύμα της σχολικής ύλης.


Λάμπρος Κατσάπας
Δημοσιεύσεις: 238
Εγγραφή: Σάβ Ιουν 17, 2017 10:17 pm
Τοποθεσία: Αθήνα

Re: Απόδειξη παραγωγισιμότητας

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Λάμπρος Κατσάπας » Τρί Οκτ 09, 2018 1:50 pm

pito έγραψε:
Τρί Οκτ 09, 2018 10:47 am
Καλημέρα :logo:

Έστω η συνάρτηση f:R\rightarrow R για την οποία ισχύει e^{f(x)}+f(x)=x για κάθε x πραγματικό.Να δείξετε ότι η f είναι παραγωγίσιμη στο R.

Ευχαριστώ.
Είναι εύκολο να δείξουμε ότι η f είναι 1-1. Λίγο πιο δύσκολο είναι είναι να δείξουμε ότι είναι συνεχής.

Αν παρατηρήσουμε την αντίστροφη θα δούμε ότι αυτή ικανοποιεί τη σχέση |f^{-1}(y)-f^{-1}(y_0)|>|y-y_0|

οπότε με την αλλαγή f^{-1}(y)=x,f^{-1}(y_0)=x_0 και τo ΚΠ παίρνουμε τη συνέχεια της f.

Για την παραγωγισιμότητα έχουμε ότι για x\neq x_0 είναι \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=1- \frac{e^{f(x)}-e^{f(x_0)}}{x-x_0}

και επειδή η f είναι 1-1 θα είναι f(x)\neq f(x_0) κοντά στο x_0.

Επομένως η τελευταία μας δίνει

\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=1- \frac{e^{f(x)}-e^{f(x_0)}}{f(x)-f(x_0)} \cdot \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} \Rightarrow \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} = \frac{1}{1+\frac{e^{f(x)}-e^{f(x_0)}}{f(x)-f(x_0)}} .

(Ο παρονομαστής δεν μηδενίζεται καθώς η εκθετική διατηρεί τη διάταξη των f(x),f(x_0) δηλαδή το κλάσμα στον παρονομαστή είναι θετικό)

Από τη συνέχεια της f κάνοντας αλλαγή μεταβλητής παίρνουμε \lim_{x\rightarrow x_0}\frac{e^{f(x)}-e^{f(x_0)}}{f(x)-f(x_0)}= \lim_{y\rightarrow f(x_0)}\frac{e^{y}-e^{f(x_0)}}{y-f(x_0)}=e^{f(x_0)}.

Άρα \lim_{x\rightarrow x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=\frac{1}{1+e^{f(x_0)}}.


Άβαταρ μέλους
pito
Δημοσιεύσεις: 1738
Εγγραφή: Τρί Μάιος 18, 2010 10:41 pm
Τοποθεσία: mathematica

Re: Απόδειξη παραγωγισιμότητας

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από pito » Τετ Οκτ 10, 2018 12:36 pm

Σας ευχαριστώ θερμά για τις απαντήσεις σας.


1. Δεν διδάσκουμε με αυτό που λέμε και κάνουμε. Διδάσκουμε με αυτό που είμαστε.
2. Ο μέτριος δάσκαλος περιγράφει. Ο καλός δάσκαλος εξηγεί. Ο σωστός δάσκαλος αποδεικνύει. Ο σπουδαίος δάσκαλος εμπνέει. ( Γουίλιαμ Γουάρντ)
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης