Χαρακτηρισμός κυρτής

Συντονιστής: KAKABASBASILEIOS

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 3225
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Χαρακτηρισμός κυρτής

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Πέμ Σεπ 20, 2018 10:11 am

Εστω f:I\rightarrow \mathbb{R} παραγωγίσιμη συνάρτηση

όπου I\subseteq \mathbb{R} ανοικτό διάστημα.

Να δειχθεί ότι η f είναι κυρτή αν και μόνο αν

Για κάθε x,y\in I,x\neq y

είναι f(x)> f(y)+f'(y)(x-y)



Λέξεις Κλειδιά:
Λάμπρος Κατσάπας
Δημοσιεύσεις: 722
Εγγραφή: Σάβ Ιουν 17, 2017 10:17 pm
Τοποθεσία: Αθήνα

Re: Χαρακτηρισμός κυρτής

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Λάμπρος Κατσάπας » Πέμ Σεπ 20, 2018 11:43 am

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε:
Πέμ Σεπ 20, 2018 10:11 am
Εστω f:I\rightarrow \mathbb{R} παραγωγίσιμη συνάρτηση

όπου I\subseteq \mathbb{R} ανοικτό διάστημα.

Να δειχθεί ότι η f είναι κυρτή αν και μόνο αν

Για κάθε x,y\in I,x\neq y

είναι f(x)> f(y)+f'(y)(x-y)
Έστω f κυρτή. Η παράγωγός της είναι γνησίως αύξουσα (1).

Αν x>y τότε από ΘΜΤ στο διάστημα (y,x) υπάρχει \xi ώστε {f}'(\xi )=\frac{f(x)-f(y)}{x-y}

και από την (1) παίρνουμε {f}'(\xi )>{f}'(y )\Rightarrow \frac{f(x)-f(y)}{x-y}>{f}'(y )\Rightarrow f(x)>f(y)+{f}'(y )(x-y).

Αν x<y τότε από ΘΜΤ στο διάστημα (x,y) υπάρχει \xi ώστε {f}'(\xi )=\frac{f(x)-f(y)}{x-y}

και από την (1) παίρνουμε {f}'(\xi )<{f}'(y )\Rightarrow \frac{f(x)-f(y)}{x-y}<{f}'(y )\Rightarrow f(x)>f(y)+{f}'(y )(x-y).

Αντιστρόφως, έστω ότι για κάθε x,y\in I,x\neq y ισχύει f(x)> f(y)+f'(y)(x-y). Τότε παίρνοντας x_1,x_2\in Iμε

x_1<x_2 θα ισχύει (για x=x_2,y=x_1) f(x_2)> f(x_1)+f'(x_1)(x_2-x_1)\Rightarrow \frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}>f'(x_1).

Για x=x_1,y=x_2 θα είναι f(x_1)> f(x_2)+f'(x_2)(x_1-x_2)\Rightarrow \frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}<f'(x_2).

Συνδυάζοντας τις δύο τελευταίες έχουμε τελικά ότι {f}'(x_2)<{f}'(x_2). Δείξαμε λοιπόν ότι x_1<x_2\Rightarrow {f}'(x_2)<{f}'(x_2)

και επομένως η παράγωγος είναι γνησίως αύξουσα. Άρα η f είναι κυρτή.


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης