Ανισότητα με τριγωνομετρικά και λογάριθμο.

Συντονιστής: KAKABASBASILEIOS

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 2021
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Ανισότητα με τριγωνομετρικά και λογάριθμο.

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Σάβ Σεπ 01, 2018 6:21 pm

Εστω 0<c<\frac{\pi }{2}

Να δειχθεί ότι για \left | x \right |< \frac{\pi }{2}

ισχύει

\frac{2}{\pi }(\cos x\ln \cos x+x\sin x)\leq \left | \sin x \right |\leq \frac{1}{c }(\cos x\ln \cos x+x\sin x)+\frac{1}{c}(\ln \frac{1}{\cos c})\cos x


Συμπλήρωμα.
Ευχαριστώ τον Λάμπρο Κατσάπα για την επισήμανση του τυπογραφικού.Διορθώθηκε
τελευταία επεξεργασία από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ σε Κυρ Σεπ 02, 2018 9:05 am, έχει επεξεργασθεί 2 φορές συνολικά.



Λέξεις Κλειδιά:
Λάμπρος Κατσάπας
Δημοσιεύσεις: 214
Εγγραφή: Σάβ Ιουν 17, 2017 10:17 pm
Τοποθεσία: Αθήνα

Re: Ανισότητα με τριγωνομετρικά και λογάριθμο.

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Λάμπρος Κατσάπας » Κυρ Σεπ 02, 2018 2:36 am

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε:
Σάβ Σεπ 01, 2018 6:21 pm
Εστω 0<c<\frac{\pi }{2}

Να δειχθεί ότι για \left | x \right |< \frac{\pi }{2}

ισχύει

\frac{2}{\pi }(\cos x\ln \cos x+x\sin x)\leq \left | \sin x \right |\leq \frac{1}{c }(\cos x\ln \cos x+x\sin x)+\frac{1}{c}(\ln \frac{1}{\cos x})\cos x
Στη δεξιά μάλλον κάτι έχει ξεφύγει κ.Σταύρο. Ξανακοιτάξτε την. Κάνω την αριστερή.

Και τα δύο μέλη είναι άρτιες συναρτήσεις. Οπότε αρκεί να δούμε τι γίνεται για x \in[0,\frac{\pi }{2}).

Από την ανισότητα Jordan ισχύει \sin x\geq \frac{2x}{\pi } για x \in[0,\frac{\pi }{2}). Άρα αρκεί να

δείξουμε ότι \frac{2x}{\pi }\geq \frac{2}{\pi }(\cos x\ln (\cos x)+x\sin x) ή ισοδύναμα

x\geq \cos x\ln (\cos x)+x\sin x ή ισοδύναμα \cos x\ln (\cos x)+x(\sin x-1)\leq 0 που ισχύει γιατί

όταν x \in[0,\frac{\pi }{2}) είναι \cos x \in (0,1] \Rightarrow \cos x \ln (\cos x)\leq 0 (''='' μόνο όταν x=0)

και x(\sin x-1)\leq 0 προφανώς (''='' μόνο όταν x=0).



Για τη δεξιά έχουμε ότι πάλι αρκεί να δούμε τι γίνεται για x \in[0,\frac{\pi }{2}).

Η ανισότητα γράφεται ισοδύναμα: \cos x (\ln (\cos x)-\ln (\cos c))\geq (c-x) \sin x και διαιρώντας με \cos x >0

παίρνουμε \ln (\cos x)-\ln (\cos c)\geq (c-x )\tan x. Διακρίνουμε τώρα τις περιπτώσεις: c=x,c>x,c<x.

Για c=x ισχύει η ισότητα.

Για c>x διαιρούμε με c-x και παίρνουμε την ισοδύναμη -\frac{\ln (\cos c)-\ln (\cos x)}{c-x}\geq \tan x (1)

Από το ΘΜΤ στο [x,c] υπάρχει \xi στο ανοικτό ώστε \frac{\ln (\cos c)-\ln (\cos x)}{c-x} = -\tan \xi .

Άρα η (1) ισοδύναμα γράφεται \tan \xi \geq \tan x που ισχύει αφού  \xi > x.

Για c<x διαιρούμε με c-x και παίρνουμε την ισοδύναμη -\frac{\ln (\cos c)-\ln (\cos x)}{c-x}\leq \tan x (2)

Από το ΘΜΤ στο [c,x] υπάρχει \xi στο ανοικτό ώστε \frac{\ln (\cos c)-\ln (\cos x)}{c-x} = -\tan \xi .

Άρα η (2) ισοδύναμα γράφεται \tan \xi \leq \tan x που ισχύει αφού  \xi < x.


ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 2021
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Ανισότητα με τριγωνομετρικά και λογάριθμο.

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Δευ Σεπ 03, 2018 11:19 pm

Ας δώσω και την δική μου εκδοχή.

Είναι σαφές ότι πρέπει να αποδειχθεί ότι

Για 0\leq x< \frac{\pi }{2} ισχύει

\frac{2}{\pi }(\cos x\ln \cos x+x\sin x)\leq \sin x \leq \frac{1}{c }(\cos x\ln \cos x+x\sin x)+\frac{1}{c}(\ln \frac{1}{\cos c})\cos x

Επειδή ο λογάριθμος θέλουμε να φύγει παραγωγίζοντας διαιρούμε με \ cos x οπότε αρκεί να δειχθεί ότι

Για 0\leq x< \frac{\pi }{2} ισχύει

\frac{2}{\pi }(\ln \cos x+x \tan x)\leq \tan x \leq \frac{1}{c }(\ln \cos x+x\tan x)+\frac{1}{c}(\ln \frac{1}{\cos c})

Θεωρώντας την g(x)=\tan x-\frac{1}{c}(\ln \cos x+x\tan x)

παίρνουμε g'(x)=\dfrac{c-x}{c(\cos x)^{2}}

Για c=\frac{\pi }{2} προκύπτει άμεσα η αριστερή.

Η δεξιά προκύπτει από το γεγονός ότι η g παίρνει μέγιστη τιμή στο c

Η ανισότητα έχει άμεση σχέση με την ανισότητα στο

https://www.mathematica.gr/forum/viewto ... =9&t=55530

Μάλιστα μπορεί να προκύψει από αυτήν παίρνοντας p\rightarrow 1


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης