Με απλά υλικά (13)

Συντονιστής: KAKABASBASILEIOS

Άβαταρ μέλους
exdx
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1368
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 6:00 pm
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης
Επικοινωνία:

Με απλά υλικά (13)

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από exdx » Κυρ Αύγ 12, 2018 1:19 pm

Από ένα φύλλο λαμαρίνας με εμβαδόν \displaystyle 16\,\,\tau .\mu . πρόκειται να κατασκευαστεί ένα κουτί , κλειστό από επάνω .
Για το σκοπό αυτό αποκόπτουμε δύο τετράγωνα και δύο ορθογώνια , όπως φαίνεται στο σχήμα και λυγίζουμε κατάλληλα το τμήμα
της λαμαρίνας που απομένει .
Να βρείτε τις διαστάσεις της λαμαρίνας που επιτυγχάνουν το μέγιστο δυνατό όγκο του κουτιού .
Συνημμένα
box.png
box.png (9.35 KiB) Προβλήθηκε 378 φορές


Kαλαθάκης Γιώργης

Λέξεις Κλειδιά:
Σταμ. Γλάρος
Δημοσιεύσεις: 311
Εγγραφή: Δευ Ιουν 18, 2012 1:51 pm

Re: Με απλά υλικά (13)

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Σταμ. Γλάρος » Κυρ Αύγ 12, 2018 2:12 pm

exdx έγραψε:
Κυρ Αύγ 12, 2018 1:19 pm
Από ένα φύλλο λαμαρίνας με εμβαδόν \displaystyle 16\,\,\tau .\mu . πρόκειται να κατασκευαστεί ένα κουτί , κλειστό από επάνω .
Για το σκοπό αυτό αποκόπτουμε δύο τετράγωνα και δύο ορθογώνια , όπως φαίνεται στο σχήμα και λυγίζουμε κατάλληλα το τμήμα
της λαμαρίνας που απομένει .
Να βρείτε τις διαστάσεις της λαμαρίνας που επιτυγχάνουν το μέγιστο δυνατό όγκο του κουτιού .
Καλησπέρα Γιώργη. Μια προσπάθεια...
Έστω a=t. Τότε b=\dfrac{16}{t}.
Οι διαστάσεις του κουτιού είναι : x_1 =x , x_2=\dfrac{t}{2}-x και x_3=\dfrac{16}{t}-2x .
Ο όγκος του κουτιού είναι : V(t)=x_1\cdot x_2\cdot x_3= 8x-tx^2-16x^2\cdot \dfrac{1}{t}+2x^3
Η V είναι παραγωγίσιμη με V΄(t)=\dfrac{x^2}{t^2}\cdot (16-t^2).
Θεωρώντας την f(t)=16-t^2 και μελετώντας την μονοτονία της βρίσκουμε ότι παρουσιάζει στην θέση t_o=4,
ολικό μέγιστο.
Άρα οι ζητουμενες διαστάσεις είναι a=b=4.
Φιλικά
Σταμ. Γλάρος


Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 10434
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Με απλά υλικά (13)

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Κυρ Αύγ 12, 2018 5:24 pm

Σταμάτη, ίσως δεν βλέπω κάτι.

Πρώτον, στο σημείο
Σταμ. Γλάρος έγραψε:
Κυρ Αύγ 12, 2018 2:12 pm

Ο όγκος του κουτιού είναι : V(t)=x_1\cdot x_2\cdot x_3= 8x-tx^2-16x^2\cdot \dfrac{1}{t}+2x^3
Η V είναι παραγωγίσιμη με V΄(t)=\dfrac{x^2}{t^2}\cdot (16-t^2).
έχεις παραγωγίσει ως προς t κρατώντας το x σταθερό. Επιτρέπεται αυτό;

Δεύτερον λες
Σταμ. Γλάρος έγραψε:
Κυρ Αύγ 12, 2018 2:12 pm

Θεωρώντας την f(t)=16-t^2 και μελετώντας την μονοτονία της βρίσκουμε ότι παρουσιάζει στην θέση t_o=4,
ολικό μέγιστο.
Σίγουρα όμως στο t_o=4 δεν έχουμε ολικό μέγιστο. Εκεί η f(t)=16-t^2 έχει f'(4)= -2\cdot 4 \ne 0.

Χάνω κάτι;


Λάμπρος Κατσάπας
Δημοσιεύσεις: 208
Εγγραφή: Σάβ Ιουν 17, 2017 10:17 pm
Τοποθεσία: Αθήνα

Re: Με απλά υλικά (13)

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Λάμπρος Κατσάπας » Κυρ Αύγ 12, 2018 9:56 pm

exdx έγραψε:
Κυρ Αύγ 12, 2018 1:19 pm
Από ένα φύλλο λαμαρίνας με εμβαδόν \displaystyle 16\,\,\tau .\mu . πρόκειται να κατασκευαστεί ένα κουτί , κλειστό από επάνω .
Για το σκοπό αυτό αποκόπτουμε δύο τετράγωνα και δύο ορθογώνια , όπως φαίνεται στο σχήμα και λυγίζουμε κατάλληλα το τμήμα
της λαμαρίνας που απομένει .
Να βρείτε τις διαστάσεις της λαμαρίνας που επιτυγχάνουν το μέγιστο δυνατό όγκο του κουτιού .
Καλησπέρα.

Θα παραλείψω κάποιες (εύκολες) πράξεις ώστε η λύση να είναι πιο εύκολα αναγνώσιμη. Θα συμβολίσω

t:=a+b. Από τη γνωστή a+b\geq 2\sqrt{ab}\geq 2\sqrt{16}=8 παίρνουμε t\geq 8. (1)

Επίσης, συμβολίζω με c το πλάτος της βάσης του κουτιού και με d το μήκος. Από το σχήμα είναι

φανερό ότι ισχύει 2x+2c=a,2x+d=b (*) καθώς επίσης και 0<x<\min (\frac{a}{2},\frac{b}{2}). (2)

Ο όγκος τότε θα είναι V(x)=xcd=x\frac{a-2x}{x}(b-2x)=...=2x^3-tx^2+8x. Παραγωγίζοντας παίρνουμε

{V}'(x)=6x^2-2tx+8. Το τριώνυμο έχει \Delta =4(t^2-48)\geq 4(8^2-48)>0 και επομένως έχει δύο

πραγματικές και άνισες ρίζες τις \frac{t\pm \sqrt{t^2-48}}{6} οι οποίες είναι θετικές αφού

\frac{t- \sqrt{t^2-48}}{6} >0\Leftrightarrow t>\sqrt{t^2-48}\Leftrightarrow 0>-48 (που ισχύει) και η δεύτερη είναι

προφανές ότι είναι θετική. Όμως για τη δεύτερη έχουμε το εξής:

Από την (2) παίρνουμε 2x<\frac{a+b}{2}\Rightarrow x<\frac{t}{4}. Τώρα βλέπουμε ότι

\frac{t+ \sqrt{t^2-48}}{6} \geq \frac{t}{4}\Leftrightarrow ...t\geq 8 (που ισχύει από (1)) οπότε η δεύτερη ρίζα

θα πρέπει να απορριφθεί. Η πρώτη έχει λίγο δουλίτσα (τουλάχιστον όπως το έκανα εγώ). Θα δείξουμε ότι

\frac{t- \sqrt{t^2-48}}{6}<\min (\frac{a}{2},\frac{b}{2}). Έχουμε

\frac{t- \sqrt{t^2-48}}{6}<\frac{a}{2}\Leftrightarrow a+\frac{16}{a}- \sqrt{(1+\frac{16}{a})^2-48}<3a\Leftrightarrow \sqrt{(1+\frac{16}{a})^2-48}>\frac{16}{a}-2a. (3)

Για \frac{16}{a}-2a\leq 0\Leftrightarrow a\geq \sqrt{8} η παραπάνω είναι αληθής ενώ για  a< \sqrt{8}

η (3) είναι ισοδύναμη (υψώνοντας στο τετράγωνο) με την \left (1+\frac{16}{a} \right )^2-48>\left (\frac{16}{a}-2 a \right )^2 \Leftrightarrow ...\Leftrightarrow a<4

(που ισχύει) Οπότε αν b\geq a έχουμε \frac{t- \sqrt{t^2-48}}{6} <\frac{a}{2}\leq \frac{b}{2}\Rightarrow \frac{t- \sqrt{t^2-48}}{6} <\min (\frac{a}{2},\frac{b}{2}).

Αν b<a ξεκινώντας από την \frac{t- \sqrt{t^2-48}}{6} <\frac{b}{2} δείχνουμε πάλι ότι ισχύει για κάθε b>0

και τότε πάλι θα είναι \frac{t- \sqrt{t^2-48}}{6} <\frac{b}{2}< \frac{a}{2}\Rightarrow \frac{t- \sqrt{t^2-48}}{6} <\min (\frac{a}{2},\frac{b}{2}).

Σε κάθε περίπτωση μόνο η \frac{t- \sqrt{t^2-48}}{6} είναι δεκτή και εύκολα τώρα βλέπουμε ότι ισχύει

{V}'(x)>0 για 0<x<\frac{t- \sqrt{t^2-48}}{6} και {V}'(x)<0 για \frac{t- \sqrt{t^2-48}}{6}<x<\min (\frac{a}{2},\frac{b}{2}).

Άρα η θέση μεγίστου είναι η x:x(t)=\frac{t- \sqrt{t^2-48}}{6},t\geq 8.

Βάζοντας το x(t) στη θέση του x στον τύπο του όγκου παίρνουμε V(x(t))=2x^3(t)-tx^2(t)+8x(t).

Για κάθε t\geq8 ο παραπάνω μας δίνει τον μέγιστο όγκο όταν a+b=t. Οπότε αρκεί να δείξουμε ότι \max_{t\geq 8} V(x(t))=V(x(8)).

Από μια πρόχειρη γραφική παράσταση σε πρόγραμμα (δεν κάθισα να την μελετήσω με το χέρι γιατί βγαίνει ένα ''τέρας'')

φαίνεται ότι η V(x(t)) είναι γνησίως φθίνουσα ως προς t οπότε επιλέγουμε για τον μέγιστο όγκο το

t=8\Rightarrow a+b=8\Rightarrow a=b=4.


Σταμ. Γλάρος
Δημοσιεύσεις: 311
Εγγραφή: Δευ Ιουν 18, 2012 1:51 pm

Re: Με απλά υλικά (13)

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Σταμ. Γλάρος » Παρ Αύγ 17, 2018 11:16 pm

Mihalis_Lambrou έγραψε:
Κυρ Αύγ 12, 2018 5:24 pm
Σταμάτη, ίσως δεν βλέπω κάτι.

Πρώτον, στο σημείο
Σταμ. Γλάρος έγραψε:
Κυρ Αύγ 12, 2018 2:12 pm

Ο όγκος του κουτιού είναι : V(t)=x_1\cdot x_2\cdot x_3= 8x-tx^2-16x^2\cdot \dfrac{1}{t}+2x^3
Η V είναι παραγωγίσιμη με V΄(t)=\dfrac{x^2}{t^2}\cdot (16-t^2).
έχεις παραγωγίσει ως προς t κρατώντας το x σταθερό. Επιτρέπεται αυτό;

Δεύτερον λες
Σταμ. Γλάρος έγραψε:
Κυρ Αύγ 12, 2018 2:12 pm

Θεωρώντας την f(t)=16-t^2 και μελετώντας την μονοτονία της βρίσκουμε ότι παρουσιάζει στην θέση t_o=4,
ολικό μέγιστο.
Σίγουρα όμως στο t_o=4 δεν έχουμε ολικό μέγιστο. Εκεί η f(t)=16-t^2 έχει f'(4)= -2\cdot 4 \ne 0.

Χάνω κάτι;
Καλησπέρα. Μόλις τώρα μπήκα στο :logo: .
Έχετε δίκιο κ. Λάμπρου . Δεν χρειαζόταν να θεωρήσω την συνάρτηση f(t).
Το συμπέρασμα προκύπτει από την μελέτη του προσήμου της V'(t).
Επίσης θεώρησα το x ως σταθερά.
Μετά την επισήμανσή σας, δεν ξέρω εάν έχω το δικαίωμα...
Φιλικά
Σταμ. Γλάρος


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης