Με απλά υλικά (11)

#1

Στο σχήμα , το $\displaystyle AEZB$ είναι ορθογώνιο με $\displaystyle AB=2,AE=1$ και το $\displaystyle EHZ$ ημικύκλιο
Ένα σημείο $\displaystyle M$ κινείται στη διαδρομή $\displaystyle AEHZB$ , αρχίζοντας από το $\displaystyle A$ και καταλήγοντας στο $\displaystyle B$ .
Συμβολίζουμε με $\displaystyle x$ το μήκος της διαδρομής $\displaystyle AM$ .
Να βρείτε τη συνάρτηση που εκφράζει την απόσταση του $\displaystyle M$ από το μέσον $\displaystyle K$ του $\displaystyle AB$ και να εξετάσετε αν είναι παραγωγίσιμη .

#2

exdx έγραψε: ↑
Δευ Ιούλ 30, 2018 1:53 pm
Στο σχήμα , το $\displaystyle AEZB$ είναι ορθογώνιο με $\displaystyle AB=2,AE=1$ και το $\displaystyle EHZ$ ημικύκλιο
Ένα σημείο $\displaystyle M$ κινείται στη διαδρομή $\displaystyle AEHZB$ , αρχίζοντας από το $\displaystyle A$ και καταλήγοντας στο $\displaystyle B$ .
Συμβολίζουμε με $\displaystyle x$ το μήκος της διαδρομής $\displaystyle AM$ .
Να βρείτε τη συνάρτηση που εκφράζει την απόσταση του $\displaystyle M$ από το μέσον $\displaystyle K$ του $\displaystyle AB$ και να εξετάσετε αν είναι παραγωγίσιμη .

...καλό απόγευμα

...γεια σου Γιώργη...

...σύμφωνα με το παρακάτω σχήμα....

: ME APLA YLIKA 11.jpg (12.2 KiB) Προβλήθηκε 699 φορές

Όταν το σημείο $\displaystyle M$ κινείται στη διαδρομή

, αρχίζοντας από το $\displaystyle A$ τότε σύμφωνα με το πυθαγόρειο θεώρημα στο τρίγωνο $AK{{M}_{1}}$ έχουμε

$KM_{1}^{2}=K{{A}^{2}}+AM_{1}^{2}\Leftrightarrow KM_{1}^{2}=1+{{x}^{2}}\Leftrightarrow K{{M}_{1}}=\sqrt{{{x}^{2}}+1},\,\,0\le x\le 1$

Συνεχίζοντας και για τις τιμές του $1\le x\le \pi +1$ δηλαδή έως να διαγράψει το ημικύκλιο EHZ

κατ αρχάς στο τρίγωνο $M\Delta K$ σύμφωνα

με το νόμο των συνημίτονων ισχύει ότι $M{{K}^{2}}=\Delta {{M}^{2}}+\Delta {{M}^{2}}-2\,\Delta K\,\Delta M\,\sigma \upsilon \nu (K\Delta M)$ ή

$M{{K}^{2}}=1+1-2\sigma \upsilon \nu (90+E\Delta M)$ ή $M{{K}^{2}}=2+2\eta \mu \alpha \Leftrightarrow MK=\sqrt{2+2\eta \mu \alpha }$ με

$\alpha =E\Delta M$ και αφού το μήκος του τόξου γωνίας $\alpha$ είναι τόξο $EM=a\,r=a$ και τότε

το

έχει διαγράψει $x=1+a\Leftrightarrow a=x-1$ έχουμε ότι $MK=\sqrt{2+2\eta \mu (x-1)},\,\,1\le x\le 1+\pi$

Τώρα τέλος συνεχίζοντας και για τις τιμές του $\pi +1\le x\le \pi +2$ δηλαδή έως να διαγράψει και την πλευρά

τότε σύμφωνα με το πυθαγόρειο θεώρημα στο τρίγωνο $BK{{M}_{2}}$ έχουμε

$KM_{2}^{2}=K{{B}^{2}}+BM_{2}^{2}\Leftrightarrow KM_{2}^{2}=1+BM_{2}^{2}$ και αφού το $B{{M}_{2}}=\pi +2-A{{M}_{2}}=\pi +2-x$ είναι

$\Leftrightarrow K{{M}_{2}}=\sqrt{{{(\pi +2-x)}^{2}}+1},\,\,\pi +1\le x\le \pi +2$ έτσι έχουμε την συνάρτηση

$d(x)=\left\{ \begin{matrix} & \sqrt{{{x}^{2}}+1},\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,0\le x\le 1 \\ & \sqrt{2+2\eta \mu (x-1)},\,\,1\le x\le 1+\pi \\ & \sqrt{{{(\pi +2-x)}^{2}}+1},\,\,\pi +1\le x\le \pi +2 \\ \end{matrix} \right.$

...και η παραγωγισιμότητα....

Τώρα για την παραγωγισιμότητα εξετάζουμε στα σημεία $1,\,\,1+\pi$ αφού στα υπόλοιπα είναι παραγωγίσιμη ως πράξεις παραγωγίσιμων, έτσι είναι

$\underset{x\to {{1}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{d(x)-d(1)}{x-1}=\underset{x\to {{1}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{\sqrt{1+{{x}^{2}}}-\sqrt{2}}{x-1}=\underset{x\to {{1}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{1+{{x}^{2}}-2}{(x-1)(\sqrt{1+{{x}^{2}}}-\sqrt{2})}=$

$\underset{x\to {{1}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{{{x}^{2}}-1}{(x-1)(\sqrt{1+{{x}^{2}}}+\sqrt{2})}=\underset{x\to {{1}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{x+1}{\sqrt{1+{{x}^{2}}}+\sqrt{2}}=\frac{2}{2\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$

Και $\underset{x\to {{1}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{d(x)-d(1)}{x-1}=\underset{x\to {{1}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{\sqrt{2+2\eta \mu (x-1)}-\sqrt{2}}{x-1}=\underset{x\to {{1}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{2+\eta \mu x(x-1)-2}{(x-1)(\sqrt{2+2\eta \mu (x-1)}+\sqrt{2})}=$

$\underset{x\to {{1}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{\eta \mu (x-1)}{(x-1)(\sqrt{2+2\eta \mu (x-1)}+\sqrt{2})}=\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$

άρα είναι παραγωγίσιμη και στο σημείο x=1

με ${f}'(1)=\frac{\sqrt{2}}{2}$

Τώρα είναι $\underset{x\to {{(1+\pi )}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{d(x)-d(\pi +1)}{x-1}=\underset{x\to {{(1+\pi )}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{\sqrt{2+2\eta \mu (x-1)}-\sqrt{2}}{x-1-\pi }=$

$\underset{x\to {{(1+\pi )}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{2\eta \mu x(x-1)}{(x-1-\pi )(\sqrt{2+2\eta \mu (x-1)}+\sqrt{2})}=-\frac{\sqrt{2}}{2}$ αφού

$\underset{x\to {{(1+\pi )}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{\eta \mu x(x-1)}{x-1-\pi }\underset{DLH}{\overset{\frac{0}{0}}{\mathop{=}}}\,\underset{x\to {{(1+\pi )}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{\sigma \upsilon \nu (x-1)}{1}=\sigma \upsilon \nu \pi =-1$ και

$\underset{x\to {{(1+\pi )}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{d(x)-d(1)}{x-1-\pi }=\underset{x\to {{1}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{\sqrt{1+{{(2+\pi -x)}^{2}}}-\sqrt{2}}{x-1-\pi }=$

$\underset{x\to {{1}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{1+{{(2+\pi -x)}^{2}}-2}{(x-1-\pi )(\sqrt{1+{{(2+\pi -x)}^{2}}}+\sqrt{2})}=$

$\underset{x\to {{(1+\pi )}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{(2+\pi -x-1)(2+\pi -x+1)}{(x-1-\pi )(\sqrt{1+{{(2+\pi -x)}^{2}}}+\sqrt{2})}=\underset{x\to {{(1+\pi )}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{-(2+\pi -x+1)}{\sqrt{1+{{(2+\pi -x)}^{2}}}+\sqrt{2}}=-\frac{1}{\sqrt{2}}$

Άρα παραγωγίσιμη και και στο σημείο $x=1+\pi$ με ${f}'(1+\pi )=-\frac{\sqrt{2}}{2}$

και επειδή μυ άρεσε η εικόνα της..

: ΜΕ ΑΠΛΑ ΥΛΙΚΑ 2.jpg (11.95 KiB) Προβλήθηκε 672 φορές

Φιλικά και Μαθηματικά
Βασίλης

Με απλά υλικά (11)

Με απλά υλικά (11)

Re: Με απλά υλικά (11)

Μέλη σε σύνδεση