Με απλά υλικά (11)

Συντονιστής: KAKABASBASILEIOS

Άβαταρ μέλους
exdx
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1452
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 6:00 pm
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης
Επικοινωνία:

Με απλά υλικά (11)

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από exdx » Δευ Ιούλ 30, 2018 1:53 pm

Στο σχήμα , το \displaystyle AEZB είναι ορθογώνιο με \displaystyle AB=2,AE=1 και το \displaystyle EHZ ημικύκλιο
Ένα σημείο \displaystyle M κινείται στη διαδρομή \displaystyle AEHZB , αρχίζοντας από το \displaystyle A και καταλήγοντας στο \displaystyle B.
Συμβολίζουμε με \displaystyle x το μήκος της διαδρομής \displaystyle AM .
Να βρείτε τη συνάρτηση που εκφράζει την απόσταση του \displaystyle M από το μέσον \displaystyle K του \displaystyle AB και να εξετάσετε αν είναι παραγωγίσιμη .
Συνημμένα
Function.png
Function.png (9.88 KiB) Προβλήθηκε 475 φορές


Kαλαθάκης Γιώργης

Λέξεις Κλειδιά:
KAKABASBASILEIOS
Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 1525
Εγγραφή: Κυρ Φεβ 01, 2009 1:46 pm

Re: Με απλά υλικά (11)

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KAKABASBASILEIOS » Δευ Ιούλ 30, 2018 4:59 pm

exdx έγραψε:
Δευ Ιούλ 30, 2018 1:53 pm
Στο σχήμα , το \displaystyle AEZB είναι ορθογώνιο με \displaystyle AB=2,AE=1 και το \displaystyle EHZ ημικύκλιο
Ένα σημείο \displaystyle M κινείται στη διαδρομή \displaystyle AEHZB , αρχίζοντας από το \displaystyle A και καταλήγοντας στο \displaystyle B.
Συμβολίζουμε με \displaystyle x το μήκος της διαδρομής \displaystyle AM .
Να βρείτε τη συνάρτηση που εκφράζει την απόσταση του \displaystyle M από το μέσον \displaystyle K του \displaystyle AB και να εξετάσετε αν είναι παραγωγίσιμη .
...καλό απόγευμα :logo: ...γεια σου Γιώργη...

...σύμφωνα με το παρακάτω σχήμα....
ME APLA YLIKA 11.jpg
ME APLA YLIKA 11.jpg (12.2 KiB) Προβλήθηκε 432 φορές

Όταν το σημείο \displaystyle M κινείται στη διαδρομή AE , αρχίζοντας από το \displaystyle A τότε σύμφωνα με το πυθαγόρειο θεώρημα στο τρίγωνο AK{{M}_{1}} έχουμε

KM_{1}^{2}=K{{A}^{2}}+AM_{1}^{2}\Leftrightarrow KM_{1}^{2}=1+{{x}^{2}}\Leftrightarrow K{{M}_{1}}=\sqrt{{{x}^{2}}+1},\,\,0\le x\le 1

Συνεχίζοντας και για τις τιμές του 1\le x\le \pi +1 δηλαδή έως να διαγράψει το ημικύκλιο EHZ κατ αρχάς στο τρίγωνο M\Delta K σύμφωνα

με το νόμο των συνημίτονων ισχύει ότι M{{K}^{2}}=\Delta {{M}^{2}}+\Delta {{M}^{2}}-2\,\Delta K\,\Delta M\,\sigma \upsilon \nu (K\Delta M) ή

M{{K}^{2}}=1+1-2\sigma \upsilon \nu (90+E\Delta M) ή M{{K}^{2}}=2+2\eta \mu \alpha \Leftrightarrow MK=\sqrt{2+2\eta \mu \alpha } με

\alpha =E\Delta M και αφού το μήκος του τόξου γωνίας \alpha είναι τόξο EM=a\,r=a και τότε

το M έχει διαγράψει x=1+a\Leftrightarrow a=x-1 έχουμε ότι MK=\sqrt{2+2\eta \mu (x-1)},\,\,1\le x\le 1+\pi

Τώρα τέλος συνεχίζοντας και για τις τιμές του \pi +1\le x\le \pi +2δηλαδή έως να διαγράψει και την πλευρά ZB

τότε σύμφωνα με το πυθαγόρειο θεώρημα στο τρίγωνο BK{{M}_{2}} έχουμε

KM_{2}^{2}=K{{B}^{2}}+BM_{2}^{2}\Leftrightarrow KM_{2}^{2}=1+BM_{2}^{2} και αφού το B{{M}_{2}}=\pi +2-A{{M}_{2}}=\pi +2-x είναι

\Leftrightarrow K{{M}_{2}}=\sqrt{{{(\pi +2-x)}^{2}}+1},\,\,\pi +1\le x\le \pi +2 έτσι έχουμε την συνάρτηση

d(x)=\left\{ \begin{matrix} 
  & \sqrt{{{x}^{2}}+1},\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,0\le x\le 1 \\  
 & \sqrt{2+2\eta \mu (x-1)},\,\,1\le x\le 1+\pi  \\  
 & \sqrt{{{(\pi +2-x)}^{2}}+1},\,\,\pi +1\le x\le \pi +2 \\  
\end{matrix} \right.

...και η παραγωγισιμότητα....

Τώρα για την παραγωγισιμότητα εξετάζουμε στα σημεία 1,\,\,1+\pi αφού στα υπόλοιπα είναι παραγωγίσιμη ως πράξεις παραγωγίσιμων, έτσι είναι

\underset{x\to {{1}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{d(x)-d(1)}{x-1}=\underset{x\to {{1}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{\sqrt{1+{{x}^{2}}}-\sqrt{2}}{x-1}=\underset{x\to {{1}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{1+{{x}^{2}}-2}{(x-1)(\sqrt{1+{{x}^{2}}}-\sqrt{2})}=

\underset{x\to {{1}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{{{x}^{2}}-1}{(x-1)(\sqrt{1+{{x}^{2}}}+\sqrt{2})}=\underset{x\to {{1}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{x+1}{\sqrt{1+{{x}^{2}}}+\sqrt{2}}=\frac{2}{2\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}

Και \underset{x\to {{1}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{d(x)-d(1)}{x-1}=\underset{x\to {{1}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{\sqrt{2+2\eta \mu (x-1)}-\sqrt{2}}{x-1}=\underset{x\to {{1}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{2+\eta \mu x(x-1)-2}{(x-1)(\sqrt{2+2\eta \mu (x-1)}+\sqrt{2})}=

\underset{x\to {{1}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{\eta \mu (x-1)}{(x-1)(\sqrt{2+2\eta \mu (x-1)}+\sqrt{2})}=\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}

άρα είναι παραγωγίσιμη και στο σημείο x=1 με {f}'(1)=\frac{\sqrt{2}}{2}

Τώρα είναι \underset{x\to {{(1+\pi )}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{d(x)-d(\pi +1)}{x-1}=\underset{x\to {{(1+\pi )}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{\sqrt{2+2\eta \mu (x-1)}-\sqrt{2}}{x-1-\pi }=

\underset{x\to {{(1+\pi )}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{2\eta \mu x(x-1)}{(x-1-\pi )(\sqrt{2+2\eta \mu (x-1)}+\sqrt{2})}=-\frac{\sqrt{2}}{2} αφού

\underset{x\to {{(1+\pi )}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{\eta \mu x(x-1)}{x-1-\pi }\underset{DLH}{\overset{\frac{0}{0}}{\mathop{=}}}\,\underset{x\to {{(1+\pi )}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{\sigma \upsilon \nu (x-1)}{1}=\sigma \upsilon \nu \pi =-1 και

\underset{x\to {{(1+\pi )}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{d(x)-d(1)}{x-1-\pi }=\underset{x\to {{1}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{\sqrt{1+{{(2+\pi -x)}^{2}}}-\sqrt{2}}{x-1-\pi }=

\underset{x\to {{1}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{1+{{(2+\pi -x)}^{2}}-2}{(x-1-\pi )(\sqrt{1+{{(2+\pi -x)}^{2}}}+\sqrt{2})}=

\underset{x\to {{(1+\pi )}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{(2+\pi -x-1)(2+\pi -x+1)}{(x-1-\pi )(\sqrt{1+{{(2+\pi -x)}^{2}}}+\sqrt{2})}=\underset{x\to {{(1+\pi )}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{-(2+\pi -x+1)}{\sqrt{1+{{(2+\pi -x)}^{2}}}+\sqrt{2}}=-\frac{1}{\sqrt{2}}

Άρα παραγωγίσιμη και και στο σημείο x=1+\pi με {f}'(1+\pi )=-\frac{\sqrt{2}}{2}

και επειδή μυ άρεσε η εικόνα της..
ΜΕ ΑΠΛΑ ΥΛΙΚΑ 2.jpg
ΜΕ ΑΠΛΑ ΥΛΙΚΑ 2.jpg (11.95 KiB) Προβλήθηκε 405 φορές
Φιλικά και Μαθηματικά
Βασίλης


f ανοιγοντας τους δρομους της Μαθηματικης σκεψης, f' παραγωγος επιτυχιας
Τα Μαθηματικά είναι απλά...όταν σκέπτεσαι σωστά...
Τα Μαθηματικά είναι αυτά...για να δεις πιό μακρυά...
Τα Μαθηματικά είναι μαγεία...όταν έχεις φαντασία...
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης