Ακρότατα και απόσταση

Συντονιστής: KAKABASBASILEIOS

Άβαταρ μέλους
exdx
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1373
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 6:00 pm
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης
Επικοινωνία:

Ακρότατα και απόσταση

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από exdx » Σάβ Ιούλ 14, 2018 10:40 pm

Δίνονται οι συναρτήσεις : \displaystyle f(x)={{e}^{x}},x\in R και \displaystyle g(x)=ex-{{e}^{x}}+e,\,\,x\in R και τα σημεία \displaystyle A(-1,0),\,\,B(0,e) .
α) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση \displaystyle g(x)=0 έχει ακριβώς δύο πραγματικές ρίζες , έστω \displaystyle a,b με \displaystyle a<b
β) Η συνάρτηση \displaystyle d:R\to R παριστάνει την απόσταση ενός τυχαίου σημείου \displaystyle M της \displaystyle {{C}_{f}} από την ευθεία \displaystyle AB.
i) Να βρείτε τον τύπο της συνάρτησης \displaystyle d
ii) Να τη μελετήσετε ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα .


Kαλαθάκης Γιώργης

Λέξεις Κλειδιά:
KAKABASBASILEIOS
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1470
Εγγραφή: Κυρ Φεβ 01, 2009 1:46 pm

Re: Ακρότατα και απόσταση

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KAKABASBASILEIOS » Κυρ Ιούλ 15, 2018 1:12 am

exdx έγραψε:
Σάβ Ιούλ 14, 2018 10:40 pm
Δίνονται οι συναρτήσεις : \displaystyle f(x)={{e}^{x}},x\in R και \displaystyle g(x)=ex-{{e}^{x}}+e,\,\,x\in R και τα σημεία \displaystyle A(-1,0),\,\,B(0,e) .
α) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση \displaystyle g(x)=0 έχει ακριβώς δύο πραγματικές ρίζες , έστω \displaystyle a,b με \displaystyle a<b
β) Η συνάρτηση \displaystyle d:R\to R παριστάνει την απόσταση ενός τυχαίου σημείου \displaystyle M της \displaystyle {{C}_{f}} από την ευθεία \displaystyle AB.
i) Να βρείτε τον τύπο της συνάρτησης \displaystyle d
ii) Να τη μελετήσετε ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα .
...γεια σου Γιώργη καλησπέρα :logo: με μια προσπάθεια στο θέμα...

α) Είναι \displaystyle g(x)=ex-{{e}^{x}}+e,\,\,x\in R είναι συνεχής στο R με g(-1)=-e-\frac{1}{e}e+e=-\frac{1}{e}<0 και

g(0)=0-1+e=e-1>0 και g(3)=3e-{{e}^{3}}+e=4e-{{e}^{3}}=e(4-{{e}^{2}})<0

άρα είναι g(-1)g(0)<0,\,\,g(0)g(3)<0

και σύμφωνα με το θεώρημα του Bolzano υπάρχουν a\in (-1,\,\,0),\,\,b\in (0,\,\,3) που g(\alpha )=g(b)=0

Αν τώρα η \displaystyle g(x)=0 έχει τρεις διαφορετικές ρίζες {{\rho }_{1}}<{{\rho }_{2}}<{{\rho }_{3}} επειδή η g είναι παραγωγίσιμη με

{g}'(x)=e-{{e}^{x}} σύμφωνα με το θεώρημα του Rolle στα [{{\rho }_{1}},\,{{\rho }_{2}}],\,\,[{{\rho }_{2}},\,{{\rho }_{3}}]

υπάρχουν {{\xi }_{1}}\in ({{\rho }_{1}},\,{{\rho }_{2}}),\,\,{{\xi }_{2}}\in ({{\rho }_{2}},\,{{\rho }_{3}}) που

{g}'({{\xi }_{1}})={g}'({{\xi }_{2}})=0 που είναι άτοπο γιατί {g}'(x)=0\Leftrightarrow e-{{e}^{x}}=0\Leftrightarrow x=1 επομένως η

\displaystyle g(x)=0 έχει ακριβώς δύο πραγματικές ρίζες , τις \displaystyle a,b με \displaystyle a<b

β) i) Η ευθεία \displaystyle AB έχει εξίσωση y-0=\frac{e-0}{0-(-1)}(x-(-1))\Leftrightarrow y=ex+e\Leftrightarrow ex-y+e=0 και

η απόσταση του τυχαίου σημείου M((x,f(x)) από αυτή είναι

d(x)=\frac{|ex-f(x)+e|}{\sqrt{{{e}^{2}}+1}}=\frac{|g(x)|}{\sqrt{{{e}^{2}}+1}}

ii) Σύμφωνα με το (α) \displaystyle a,b είναι οι μοναδικές ρίζες της \displaystyle g(x)=0(και της d(x)=0 και λόγω αυτού

g(x)\ne 0,\,\,x\in (-\infty ,\,\,a)\cup (a,b)\cup (b,\,+\infty ) άρα σαν συνεχής θα έχει σταθερό πρόσημο σε κάθε διάστημα , έτσι αφού

-1\in (-\infty ,\,\,a) και g(-1)=-e-\frac{1}{e}e+e=-\frac{1}{e}<0 είναι g(x)<0,\,\,x<a και

0\in (a,\,b) με g(0)=0-1+e=e-1>0 άρα g(x)>0,\,\,a<x<b και τέλος

3\in (b,\,\,+\infty ) και g(3)=e(4-{{e}^{2}})<0 άρα g(x)<0,\,\,x>b έτσι έχουμε

d(x)=\left\{ \begin{matrix} 
  & -\frac{g(x)}{\sqrt{{{e}^{2}}+1}},\,\,\,\,\,\,\,x<a,\,\,x>b \\  
 & \frac{g(x)}{\sqrt{{{e}^{2}}+1}},\,\,\,a\le x\le b \\  
\end{matrix} \right. που είναι παραγωγίσιμη για

x\in (-\infty ,\,\,a)\cup (a,b)\cup (b,\,+\infty ) με {d}'(x)=\left\{ \begin{matrix} 
  & -\frac{{g}'(x)}{\sqrt{{{e}^{2}}+1}},\,\,\,x<a,\,\,x>b \\  
 & \,\,\,\,\frac{{g}'(x)}{\sqrt{{{e}^{2}}+1}},\,\,\,a<x<b \\  
\end{matrix} \right. ή

{d}'(x)=\left\{ \begin{matrix} 
  & -\frac{e-{{e}^{x}}}{\sqrt{{{e}^{2}}+1}},\,\,\,x<a,\,\,x>b \\  
 & \,\,\,\,\frac{e-{{e}^{x}}}{\sqrt{{{e}^{2}}+1}},\,\,\,a<x<b \\  
\end{matrix} \right.

και αφού 1\in (a,b) και έχουμε ότι {d}'(x)=0\Leftrightarrow x=1 είναι {d}'(x)<0\Leftrightarrow x\in (-\infty ,\,\alpha ),\,\,x\in (1,\,b)

άρα η d είναι γνήσια φθίνουσα στα x\in (-\infty ,\,\alpha ],\,\,[1,\,b] και ακόμη είναι

{d}'(x)>0\Leftrightarrow x\in (\alpha ,\,\,1),\,\,x\in (b,\,\,+\infty ) άρα η d είναι γνήσια αύξουσα στα [\alpha ,\,\,1],\,\,[b,\,\,+\infty )

οπότε παρουσιάζει ελάχιστο στα x=a,\,\,x=bτο g(\alpha )=g(b)=0

Φιλικά και Μαθηματικά
Βασίλης


f ανοιγοντας τους δρομους της Μαθηματικης σκεψης, f' παραγωγος επιτυχιας
Τα Μαθηματικά είναι απλά...όταν σκέπτεσαι σωστά...
Τα Μαθηματικά είναι αυτά...για να δεις πιό μακρυά...
Τα Μαθηματικά είναι μαγεία...όταν έχεις φαντασία...
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης