Μέγιστο εμβαδόν σε ισοσκελές

#1

Το τρίγωνο $\displaystyle ABC$ είναι ισοσκελές και το $\displaystyle M$ κινείται πάνω στη βάση $\displaystyle BC$ .
Αν $\displaystyle ME,MZ$ είναι οι αποστάσεις από τις ίσες πλευρές , ποια θέση του $\displaystyle M$ μεγιστοποιεί το $\displaystyle (MEZ)$ ;

#2

exdx έγραψε: ↑
Τετ Ιούλ 11, 2018 5:38 pm
Το τρίγωνο $\displaystyle ABC$ είναι ισοσκελές και το $\displaystyle M$ κινείται πάνω στη βάση $\displaystyle BC$ .
Αν $\displaystyle ME,MZ$ είναι οι αποστάσεις από τις ίσες πλευρές , ποια θέση του $\displaystyle M$ μεγιστοποιεί το $\displaystyle (MEZ)$ ;

Γεια σου Γιώργη!

: Max.exdx.png (11.91 KiB) Προβλήθηκε 814 φορές

$\displaystyle (MEZ) = \frac{1}{2}ME \cdot MZ\sin \omega,$ αλλά η γωνία $\omega$ είναι σταθερή παραπληρωματική της $\widehat A,$ οπότε το εμβαδόν

μεγιστοποιείται όταν μεγιστοποιείται το γινόμενο $ME \cdot MZ.$ Αυτό όμως συμβαίνει όταν ME= MZ,

αφού το

άθροισμα ME + MZ

είναι σταθερό (ίσο με ένα από τα ίσα ύψη του ισοσκελούς). Σ' αυτή τη θέση το

είναι μέσο της βάσης BC.

Σταμ. Γλάρος · #3

exdx έγραψε: ↑
Τετ Ιούλ 11, 2018 5:38 pm
Το τρίγωνο $\displaystyle ABC$ είναι ισοσκελές και το $\displaystyle M$ κινείται πάνω στη βάση $\displaystyle BC$ .
Αν $\displaystyle ME,MZ$ είναι οι αποστάσεις από τις ίσες πλευρές , ποια θέση του $\displaystyle M$ μεγιστοποιεί το $\displaystyle (MEZ)$ ;

Καλησπέρα στην εκλεκτή παρέα του

.Μια προσπάθεια με ύλη Γ' Λυκείου ...

: Μέγιστο εμβαδόν σε ισοσκελές.png (253.8 KiB) Προβλήθηκε 764 φορές

Στο σχήμα του Γιώργη βάζω συντεταγμένες.
Συνεπώς έχουμε :
Είναι $(\varepsilon): 2x-y+2=0$ η εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από τα A,B

και
$(\eta ): 2x+y-2=0$ η εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από τα A,C

.

Στη συνέχεια έχουμε : $d(M,\varepsilon )=\dfrac{|2x+2|}{\sqrt{5}}$ και $d(M,\eta )=\dfrac{|2x-2|}{\sqrt{5}}$ .
Επίσης $sina=sin(180^o-c_1-c_2)=sin(180^o-(90^o-\widehat{B})-(90^o-\widehat{G}))=$
$=sin(\widehat{B}+\widehat{G})=sin(180^o-\widehat{A})=sin\widehat{A}$ .
΄
Επί πλέον ισχύει $sin\left ( \dfrac{\widehat{A}}{2} \right )=\dfrac{(OC)}{(AC)}=\dfrac{1}{\sqrt{5}}$ και
$cos\left ( \dfrac{\widehat{A}}{2} \right )=\dfrac{(OA)}{(AC)}=\dfrac{2}{\sqrt{5}}$ .
Συνεπώς $sina= sin\widehat{A}=2sin\left ( \dfrac{\widehat{A}}{2} \right )\cdot cos\left ( \dfrac{\widehat{A}}{2} \right )=\dfrac{4}{5}$ .

Επομένως από νόμο ημιτόνων στο τρίγωνο MEZ

έχουμε:
$(MEZ)= \dfrac{1}{2}\cdot d(M,\varepsilon ) \cdot d(M,\eta )\cdot sina = \dfrac{8}{25}\cdot \left | x^2-1 \right |=\dfrac{8}{25}\cdot \left ( 1-x^2 \right )$ , επειδή $x\in[-1,1]$ .

Τώρα θεωρώ την συνάρτηση $f(x)= \dfrac{8}{25}\cdot \left ( 1-x^2 \right )$ , παραγωγίσιμη με $f'(x)=- \dfrac{16}{25}x$ .
Από πίνακα μονοτονίας προκύπτει ότι η

παρουσιάζει στην θέση x_o =0

μέγιστο.
Άρα το ζητούμενο εμβαδόν μεγιστοποιείται όταν το

βρίσκεται στο μέσον της πλευράς

.

Αν επιτρέπεται κάποιο σχόλιο, θεωρώ πολύ σημαντικές τις ασκήσεις που ανεβάζει ο Γιώργης.
Καταρρίπτεται επιτέλους αυτή η πλάνη, ότι δήθεν δεν χρειάζεται η ύλη της Κατεύθυνσης Β΄Λυκείου ,
καθώς και η Γεωμετρία όπως πολύ όμορφα και λιτά φαίνεται στην παραπάνω υπέροχη λύση του "george visvikis"
Καιρός να μπούνε τα πράγματα στη θέση τους!

Συγγνώμη αν κούρασα!
Φιλικά
Σταμ. Γλάρος

Ratio · #4

Μία λύση με χρήση γεωμετρίας Β' Λυκείου και κατεύθυνσης Γ' Λυκείου

$(MEZ)=\frac{1}{2}(ME)(MZ)sin\widehat{\omega}\\ sin\widehat{B}=\frac{ME}{MB}\\ sin\widehat{C}=\frac{MZ}{MC}\\\widehat{B}=\widehat{C}$
Από τα παραπάνω προκύπτει
$(MEZ)=\frac{1}{2}sin^{2}\widehat{B}(MB)(MC)sin\widehat{\omega}$
Θέτοντας (MB)=(BC)-x

θα έχουμε
$(MEZ)=\frac{1}{2}sin^{2}\widehat{B}sin\widehat{\omega}(BC-x)x$
Στο τετράπλευρο (ΑΕΜΖ) $\widehat{A}+\widehat{E}+\widehat{Z}+\widehat{\omega}=360^{0}\Leftrightarrow \widehat{\omega}+\widehat{A}=180^{0}\Leftrightarrow sin{\widehat{\omega}}=sin{\widehat{A}$
Ονομάζουμε την συνάρτηση του εμβαδού
$f(x)=\frac{1}{2}sin^{2}\widehat{B}sin\widehat{A}(BC-x)x$
και με παραγώγιση & μελέτη μονοτονίας
$f'(x)=\frac{1}{2}sin^{2}{\widehat{B}}sin\widehat{\omega}(BC-2x)$
που παρουσιάζει ακρότατο για $x=\frac{BC}{2}$ , το οποίο αποδεικνύεται ότι είναι και σημείο μεγίστου για την συνάρτηση, επομένως και το εμβαδό

Προσυπογράφω το παραπάνω σχόλιο για τη χρησιμότητα της Κατεύθυνσης Β' Λυκείου και της Γεωμετρίας. Δεν νομίζω ότι χρειάζεταινα δούμε σε κάποια από τις επόμενες χρονιές θέματα μαθηματικών στηριγμένα σε αυτές , για να ξεκινήσουν συζητήσει περί "ανακάλυψης του τροχού" , κατόπιν εορτής.

Μέγιστο εμβαδόν σε ισοσκελές

Μέγιστο εμβαδόν σε ισοσκελές

Re: Μέγιστο εμβαδόν σε ισοσκελές

Re: Μέγιστο εμβαδόν σε ισοσκελές

Re: Μέγιστο εμβαδόν σε ισοσκελές

Μέλη σε σύνδεση