Μέγιστο εμβαδόν παραλληλογράμμου

#1

Δίνεται το τρίγωνο $\displaystyle ABC$ και το σημείο $\displaystyle M$ επί της $\displaystyle AB$ . Από το $\displaystyle M$ φέρουμε $\displaystyle ME//AC$ και από το $\displaystyle E$ την $\displaystyle EZ//BA$ .
Ποια θέση του $\displaystyle M$ επιτυγχάνει τη μεγιστοποίηση του $\displaystyle (AMEZ)$ ;

Δεκτή και η γεωμετρική αντιμετώπιση

Μιχάλης Τσουρακάκης · #2

exdx έγραψε: ↑
Δευ Ιούλ 09, 2018 1:10 am
Δίνεται το τρίγωνο $\displaystyle ABC$ και το σημείο $\displaystyle M$ επί της $\displaystyle AB$ . Από το $\displaystyle M$ φέρουμε $\displaystyle ME//AC$ και από το $\displaystyle E$ την $\displaystyle EZ//BA$ .
Ποια θέση του $\displaystyle M$ επιτυγχάνει τη μεγιστοποίηση του $\displaystyle (AMEZ)$ ;

Δεκτή και η γεωμετρική αντιμετώπιση

άρση απόκρυψης

$\displaystyle ME//BC \Rightarrow \frac{y}{b} = \frac{x}{c} \Rightarrow y = \frac{b}{c} \cdot x$ και $\displaystyle \left( {MEZA} \right) = \max \Leftrightarrow 2\left( {MAZ} \right) = max$

Αλλά $\displaystyle 2\left( {MAZ} \right) = MA \cdot AZ \cdot \sin A = \frac{{b\sin A}}{c} \cdot x\left( {c - x)} \right)$

Άρα μέγιστο εμβαδόν έχουμε για το $\displaystyle x$ που $\displaystyle x(c - x) = \max$ δηλαδή για $\displaystyle \boxed{x = \frac{c}{2}}$

: mep.png (7.44 KiB) Προβλήθηκε 1063 φορές

S.E.Louridas · #3

Καλημέρα με καταρχάς μία γεωμετρική άποψη:

Το εμβαδόν του παραλληλογράμμου ισούται με $ME \cdot M{M{'}},$ όπου M{M{'}}

η απόσταση του

από την

Όμως τα τρίγωνα $BME,\;\,MA{M{'}}$ διατηρούν τις γωνίες τους, συνεπώς παραμένουν όμοια προς εαυτόν,

άρα έχουμε $\displaystyle{\frac{{ME}}{{MB}} = k,\;\frac{{M{M{'}}}}{{MA}} = \ell ,\quad k,\ell ,\;ct.}$ ή $\displaystyle{ME = kMB,\;\,M{M{'}} = \ell MA.}$

Αρκεί λοιπόν το γινόμενο $MB \cdot MA$ να γίνει μέγιστο με $MB + MA = AB,\;ct.$

Αυτό ως γνωστόν επιτυγχάνεται όταν το

είναι μέσο της AB.

Σταμ. Γλάρος · #4

exdx έγραψε: ↑
Δευ Ιούλ 09, 2018 1:10 am
Δίνεται το τρίγωνο $\displaystyle ABC$ και το σημείο $\displaystyle M$ επί της $\displaystyle AB$ . Από το $\displaystyle M$ φέρουμε $\displaystyle ME//AC$ και από το $\displaystyle E$ την $\displaystyle EZ//BA$ .
Ποια θέση του $\displaystyle M$ επιτυγχάνει τη μεγιστοποίηση του $\displaystyle (AMEZ)$ ;

Δεκτή και η γεωμετρική αντιμετώπιση

Καλησπέρα . Μια προσπάθεια με Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ΄Λυκείου ...

: Μέγιστο Εμβαδόν Παραλληλογράμμου.png (8.94 KiB) Προβλήθηκε 1063 φορές

To

κινείται επί της ευθείας y=2x

με $x\in[0,2]$ . Άρα M(t,2t)

με $t\in[0,2]$ .
Η ευθεία $(\varepsilon ): y=2t$ είναι παράλληλη στον άξονα xx'

και τέμνει την ευθεία $(\eta ): y=-x+6$ ,στο

.
Όπου $(\eta )$ η ευθεία, η οποία διέρχεται από τα $B,\Gamma$ .
Εύκολα βρίσκουμε ότι E(6-2t,2t)

με $t\in[0,2]$ .
Άρα $(AMEZ)=d(M,xx')\cdot (ME)=-6(t^2-2t)$ .
Θεωρώ την συνάρτηση f(t)=-6(t^2-2t)

, παραγωγίσιμη με f'(t)=-12(t-1)

.
Με πίνακα μονοτονίας βρίσκουμε ότι η

παρουσιάζει μέγιστη τιμή στο t=1

.
Συνεπώς η μεγιστοποίηση του $\displaystyle (AMEZ)$ επιτυγχάνεται όταν M(1,2)

.
Δηλαδή, όπως απεδείχθη ήδη και γεωμετρικά

: μέσον της πλευράς

.
Φιλικά
Σταμ. Γλάρος

S.E.Louridas · #5

Μία προσπάθεια με ύλη Γ’ Λυκείου (Διαφορικoύ Λογισμού):

Θα εργαστούμε με βάση το σχήμα του Γιώργη.
Αν ονομάσουμε BM = x,

έχουμε: $\displaystyle{\frac{{ME}}{b} = \frac{x}{c} \Rightarrow ME = \frac{b}{c}x,}$ και $\displaystyle{\frac{{M{M_1}}}{{{h_a}}} = \frac{{c - x}}{c} \Rightarrow M{M_1} = \frac{{{h_a}}}{c}\left( {c - x} \right),\;{M_1} \in AC,\,\;M{M_1} \bot AC.}$ $\displaystyle{y = E = \frac{{b{h_a}}}{{{c^2}}}\left( {cx - {x^2}} \right) \Rightarrow {y{'}} = \frac{{b{h_a}}}{{{c^2}}}\left( {c - 2x} \right),}$ από όπου προκύπτει ότι το μέγιστο επιτυγχάνεται όταν $\displaystyle{x = \frac{c}{2}.}$

(*) Ευχόμενος βέβαια να μπορεί να χρησιμοποιηθεί η ομοιότητα τριγώνων και ο τύπος του εμβαδού τριγώνου, που δεν είναι στην ύλη της Γ' Λυκείου, χωρίς αυτό να είναι σε βάρος της κριτικής σκέψης ...

#6

Καλημέρα σε όλους. Μια ακόμα λύση με ομοιότητα και με μελέτη τριωνύμου. Νομίζω έτσι το αντιμετωπίζαμε, όταν είμαστε μαθητές πριν κάποιες δεκαετίες, τότε που οι παράγωγοι δεν είχαν την απόλυτη κυριαρχία στη σχολική ύλη.

: 10-07-2018 Γεωμετρία.jpg (18.86 KiB) Προβλήθηκε 940 φορές

Τα τρίγωνα BME

και

είναι όμοια, αφού έχουν δύο πλευρές συνευθειακές και τις τρίτες πλευρές τους παράλληλες.

Φέρνουμε το ύψος $\displaystyle {\rm B}{\rm K} = \upsilon$ που τέμνει κάθετα την

στο

.

Έστω $\displaystyle \frac{{{\rm M}{\rm E}}}{b} = \lambda ,\;\;0 \le \lambda \le 1$ , οπότε και $\displaystyle \frac{{BL}}{{BK}} = \lambda$ .

Τότε $\displaystyle A{\rm Z} = M{\rm E} = \lambda b\;\;\;\kappa \alpha \iota \;\;LK = BK - BL = \left( {1 - \lambda } \right)\upsilon$

Είναι $\displaystyle \frac{{\left( {{\rm A}{\rm Z}{\rm E}{\rm M}} \right)}}{{\left( {{\rm A}{\rm B}C} \right)}} = \frac{{LK \cdot A{\rm Z}}}{{\frac{{b\upsilon }}{2}}} = \frac{{\left( {1 - \lambda } \right)\upsilon \cdot \lambda b}}{{\frac{{b\upsilon }}{2}}} = - 2{\lambda ^2} + 2\lambda$ .

Το μέγιστο του τμήματος της παραβολής $\displaystyle y = - 2{x^2} + 2x,\;\;x \in \left[ {0,\;1} \right]$ επιτυγχάνεται για $\displaystyle x = - \frac{\beta }{{2\alpha }} = - \frac{2}{{2 \cdot \left( { - 2} \right)}} = \frac{1}{2}$ , οπότε για $\displaystyle \lambda = \frac{1}{2}$ έχουμε το μέγιστο εμβαδόν του παραλληλογράμμου AZEM

, δηλαδή όταν το

είναι μέσον του

.

edit: Να σημειώσω ότι ο K.M. Tikhomirov στις «Ιστορίες για τα µέγιστα και ελάχιστα (σ.27 αγγλικής έκδοσης) αναφέρει ότι πρόκειται για το μοναδικό πρόβλημα μεγίστων-ελαχίστων στα στοιχεία του Ευκλείδη, (σε μια σύγχρονη διατύπωσή του).

Γιώργος Μήτσιος · #7

Καλημέρα σε όλους

: Μέγιστο εμβαδόν.PNG (6.08 KiB) Προβλήθηκε 866 φορές

Τα

είναι τα μέσα των AB,BC,AC

.Έστω $M \in BK$ .

Θα δείξουμε ότι $\left ( AKTH \right )\geq \left ( AMEZ \right )\Leftrightarrow ( ZHTO ) \geq \left ( MEOK \right )$ $\Leftrightarrow MK\cdot ME\cdot \eta \mu \omega \leq OZ\cdot OT\cdot \eta \mu \omega \Leftrightarrow MK\cdot ME \leq OZ\cdot OT ...\left ( 1 \right )$ .

Aν $BM=\lambda AB$ τότε $\lambda \leq 1/2$ και λόγω της ομοιότητας των τριγώνων BEM ,BAC

είναι $ME= \lambda AC$ .

Ακόμη $MK=\dfrac{1-2\lambda }{2}AB...OZ=AB/2...OT= \dfrac{1-2\lambda }{2}AC$ . Με χρήση αυτών η $\left ( 1 \right )\Leftrightarrow ...\lambda \leq 1/2$ που ισχύει.

Όμοια είναι η αντιμετώπιση αν $M \in AK$ ... Φιλικά Γιώργος

Μέγιστο εμβαδόν παραλληλογράμμου

Μέγιστο εμβαδόν παραλληλογράμμου

Re: Μέγιστο εμβαδόν παραλληλογράμμου

Re: Μέγιστο εμβαδόν παραλληλογράμμου

Re: Μέγιστο εμβαδόν παραλληλογράμμου

Re: Μέγιστο εμβαδόν παραλληλογράμμου

Re: Μέγιστο εμβαδόν παραλληλογράμμου

Re: Μέγιστο εμβαδόν παραλληλογράμμου

Μέλη σε σύνδεση