Το μήκος της σκιάς

Συντονιστής: KAKABASBASILEIOS

Άβαταρ μέλους
exdx
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1368
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 6:00 pm
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης
Επικοινωνία:

Το μήκος της σκιάς

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από exdx » Παρ Ιουν 22, 2018 11:43 pm

Ένας άνθρωπος κινείται από το \displaystyle A μέχρι τον τοίχο \displaystyle T. ( Τα απαραίτητα στοιχεία , όπως στο σχήμα )
α) Να εκφράσετε το μήκος της σκιάς \displaystyle s (στο πάτωμα ή/και στον τοίχο ) ως συνάρτηση του \displaystyle x.
β) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση αυτή είναι συνεχής .
γ) Να εξετάσετε αν είναι παραγωγίσιμη .
δ) Να βρείτε πότε η σκιά έχει το μεγαλύτερο μήκος .
Untitled2.png
Untitled2.png (11.12 KiB) Προβλήθηκε 215 φορές


Kαλαθάκης Γιώργης

Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Γιώργος Ρίζος
Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 4125
Εγγραφή: Δευ Δεκ 29, 2008 1:18 pm
Τοποθεσία: Κέρκυρα

Re: Το μήκος της σκιάς

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Ρίζος » Σάβ Ιουν 23, 2018 10:46 am

Καλημέρα σε όλους. Κάνω μια προσπάθεια στο ενδιαφέρον πρόβλημα του Γιώργη.

Skia 23-06-2018.png
Skia 23-06-2018.png (20.65 KiB) Προβλήθηκε 148 φορές


Στο χρονικό διάστημα για το οποίο το  \displaystyle \Sigma βρίσκεται στο AT, από την ομοιότητα των τριγώνων  \displaystyle \Pi {\rm K}\Sigma ,\;{\rm A}{\rm B}\Sigma έχουμε  \displaystyle \frac{{\Pi {\rm K}}}{{{\rm A}{\rm B}}} = \frac{{\Pi \Sigma }}{{\Pi {\rm A}}} \Leftrightarrow \frac{s}{{x + s}} = \frac{2}{4} \Leftrightarrow x = s .

Όταν το  \displaystyle \Sigma ταυτιστεί με το T, ο άνθρωπος θα βρίσκεται στο μέσο της διαδρομής, άρα x = 4. Οπότε  \displaystyle s\left( x \right) = x,\;\;x \in \left[ {0,\;4} \right] .

Όταν  \displaystyle x \in \left( {4,8} \right] , τότε  \displaystyle s = \Pi {\rm T} + {\rm T}{\rm M} , όπου TM η σκιά στον τοίχο.

Θεωρούμε ότι το  \displaystyle \Sigma βρίσκεται στην προέκταση του AT οπότε  \displaystyle \Pi \Sigma  = \Pi {\rm A} = x , αφού η αναλογία των πλευρών των τριγώνων διατηρείται.

Skia_1 23-06-2018.png
Skia_1 23-06-2018.png (21.7 KiB) Προβλήθηκε 145 φορές
Από την ομοιότητα των  \displaystyle \Sigma {\rm M}{\rm T},\;\Sigma {\rm K}\Pi είναι  \displaystyle \frac{{{\rm M}{\rm T}}}{{\Pi {\rm K}}} = \frac{{{\rm T}\Sigma }}{{\Pi \Sigma }} \Leftrightarrow \frac{{{\rm M}{\rm T}}}{2} = \frac{{2x - 8}}{x} \Leftrightarrow MT = \frac{{4x - 16}}{x}

Οπότε η σκιά δίνεται από το άθροισμα
 \displaystyle s = \Pi {\rm T} + {\rm T}{\rm M} = \left( {8 - x} \right) + \frac{{4x - 16}}{x} \Leftrightarrow sx = 8x - {x^2} + 4x - 16

Άρα  \displaystyle s\left( x \right) = \frac{{ - {x^2} + 12x - 16}}{x},\;\;x \in \left( {4,8} \right] .

Τελικά, είναι  \displaystyle s\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l} 
x,\;\;x \in \left[ {0,4} \right]\\ 
\frac{{ - {x^2} + 12x - 16}}{x},\;\;x \in \left( {4,8} \right] 
\end{array} \right.

Η s(x) είναι συνεχής στο  \displaystyle \left[ {0,4} \right) και στο  \displaystyle \left( {4,8} \right] ως ταυτοτική και ρητή συνάρτηση αντίστοιχα.

Είναι  \displaystyle \mathop {\lim }\limits_{x \to {4^ - }} s\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {4^ - }} x = 4,\;\;\;\mathop {\lim }\limits_{x \to {4^ + }} s\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {4^ - }} \frac{{ - {x^2} + 12x - 16}}{x} = 4 , άρα η s(x) είναι συνεχής στο  \displaystyle \left[ {0,8} \right] .

Είναι  \displaystyle s'\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l} 
1,\;\;x \in \left( {0,\;4} \right]\\ 
\frac{{16 - {x^2}}}{{{x^2}}},\;x \in \left( {4,8} \right] 
\end{array} \right.

 \displaystyle\mathop {\lim }\limits_{x \to {4^ - }} \frac{{s\left( x \right) - s\left( 4 \right)}}{{x - 4}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {4^ + }} \frac{{x - 4}}{{x - 4}} = 1,

 \displaystyle \mathop {\lim }\limits_{x \to {4^ + }} \frac{{s\left( x \right) - s\left( 4 \right)}}{{x - 4}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {4^ + }} \frac{{\frac{{ - {x^2} + 12x - 16}}{x} - 4}}{{x - 4}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {4^ + }} \frac{{ - {x^2} + 8x - 16}}{{x\left( {x - 4} \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {4^ + }} \frac{{4 - x}}{x} = 0 ,

άρα η s(x) δεν είναι παραγωγίσιμη στο x=4.

Η μονοτονία και τα ακρότατά της δίνονται στον πίνακα


23-06-2018 Skia.jpg
23-06-2018 Skia.jpg (17.44 KiB) Προβλήθηκε 148 φορές

Η μέγιστη τιμή είναι 4 m όταν ο άνθρωπος βρεθεί στο μέσο της διαδρομής.


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης