Με απλά υλικά (8)

#1

Θεωρούμε τη συνάρτηση $\displaystyle f(x)={{e}^{x}}$ και ένα σημείο $\displaystyle M(a,f(a))$ με $\displaystyle a<0$ .
Έστω $\displaystyle (\varepsilon )$ η εφαπτόμενη της $\displaystyle {{C}_{f}}$ στο $\displaystyle M$ η οποία τέμνει τους άξονες $\displaystyle {x}'x,{y}'y$ στα $\displaystyle E,Z$ , αντίστοιχα .
Φέρουμε $\displaystyle MA\bot {x}'x$ , $\displaystyle MB\bot {y}'y$ .
α) Να προσδιορίσετε τη θέση του $\displaystyle M$ η οποία μεγιστοποιεί το εμβαδόν του τριγώνου $\displaystyle EOZ$ .
β) Να αποδείξετε ότι στην ίδια θέση μεγιστοποείται και το εμβαδόν του ορθογωνίου $\displaystyle MAOB$ .
γ) Να βρείτε το οριακό μήκος του τμήματος $\displaystyle ME$ , καθώς το $\displaystyle x\to -\infty$ .

Edit : Διορθώθηκε το γ

#2

exdx έγραψε: ↑
Σάβ Μάιος 05, 2018 8:15 am
Θεωρούμε τη συνάρτηση $\displaystyle f(x)={{e}^{x}}$ και ένα σημείο $\displaystyle M(a,f(a))$ με $\displaystyle a<0$ .
Έστω $\displaystyle (\varepsilon )$ η εφαπτόμενη της $\displaystyle {{C}_{f}}$ στο $\displaystyle M$ η οποία τέμνει τους άξονες $\displaystyle {x}'x,{y}'y$ στα $\displaystyle E,Z$ , αντίστοιχα .
Φέρουμε $\displaystyle MA\bot {x}'x$ , $\displaystyle MB\bot {y}'y$ .
α) Να προσδιορίσετε τη θέση του $\displaystyle M$ η οποία μεγιστοποιεί το εμβαδόν του τριγώνου $\displaystyle EOZ$ .
β) Να αποδείξετε ότι στην ίδια θέση μεγιστοποείται και το εμβαδόν του ορθογωνίου $\displaystyle MAOB$ .
γ) Να βρείτε το οριακό μήκος του τμήματος $\displaystyle ME$ , καθώς το $\displaystyle x\to -\infty$ .

Καλημέρα Γιώργη!

Η εξίσωση της εφαπτομένης είναι $\displaystyle \varepsilon :y = {e^a}x + {e^a} - a{e^a}$ και $\displaystyle A(a,0),B(0,{e^a}),E(a - 1,0),Z(0,{e^a} - a{e^a})$

: Με απλά υλικά (8).png (9.69 KiB) Προβλήθηκε 879 φορές

α) $\displaystyle (EOZ) = f(a) = \frac{1}{2}|(a - 1){e^a}(1 - a)| = \frac{1}{2}{e^a}{(1 - a)^2}$ με $\displaystyle f'(a) = - {e^a}(1 - a)(1 + a),a < 0$

Η

παρουσιάζει για $\boxed{a=-1}$ μέγιστο (*) ίσο με $\boxed{f( - 1) = \frac{2}{e}}$ Άρα η θέση του

είναι $\boxed{M\left( { - 1,\frac{1}{e}} \right)}$

β) $\displaystyle (MAOB) = g(a) = |a{e^a}|\mathop = \limits^{a < 0} - a{e^a}{\rm{ }}$ με $\displaystyle g'(a) = - (a + 1){e^a},a < 0$

Επομένως και η

μεγιστοποιείται (*) στο ίδιο σημείο $\boxed{M\left( { - 1,\frac{1}{e}} \right)}$ και παίρνει μέγιστη τιμή $\boxed{g( - 1) = \frac{1}{e}}$

(*) Και οι δύο συναρτήσεις είναι γνησίως αύξουσες στο $\displaystyle ( - \infty , - 1]$ και γνησίως φθίνουσες στο $\displaystyle [ - 1,0]$

γ) $\displaystyle ME = \sqrt {1 + {e^{2a}}} ,\mathop {\lim }\limits_{a \to - \infty } {e^{2a}} = 0 \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{a \to - \infty } ME = 1$

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #3

Μια γεωμετρική λύση για το γ)

Απο βασική ιδιότητα της εκθετικής είναι EA=1

.

Οταν το $x\rightarrow -\infty$

τότε το $MA\rightarrow 0$

Ετσι από το ορθογώνιο τρίγωνο MEA

που τείνει να εκφυλισθεί παίρνουμε $ME\rightarrow 1$ .

Με απλά υλικά (8)

Με απλά υλικά (8)

Re: Με απλά υλικά (8)

Re: Με απλά υλικά (8)

Μέλη σε σύνδεση