Εφαπτόμενες
Συντονιστής: KAKABASBASILEIOS
Εφαπτόμενες
α) Εξετάστε αν οι γραφικές τους παραστάσεις έχουν κοινές εφαπτόμενες .
β) Εξετάστε αν υπάρχουν σημεία των , με την ίδια τεταγμένη ,
στα οποία οι αγόμενες εφαπτόμενες να είναι παράλληλες .
Λέξεις Κλειδιά:
-
- Συντονιστής
- Δημοσιεύσεις: 1595
- Εγγραφή: Κυρ Φεβ 01, 2009 1:46 pm
Re: Εφαπτόμενες
...μία λύση για το γεωμετρικό θέμα του Θανάση...
α) Οι και είναι παραγωγίσιμες στο πεδίο ορισμού τους με
και έχουν εφαπτόμενες στα
τις ευθείες
και
για να ταυτίζονται πρέπει να υπάρχουν ώστε
Τώρα έχουμε από την
άρα θεωρώντας την εξίσωση είναι παραγωγίσιμη με
και και
γνήσια αύξουσα στο και
γνήσια φθίνουσα στο
επομένως παίρνει ελάχιστη τιμή για την που είναι και μοναδική ρίζα της άρα
και τότε στην όπου έχουμε
επομένως οι γραφικές παραστάσεις έχουν κοινή εφαπτομένη στο κοινό τους σημείο
β) Για να υπάρχουν σημεία των , με την ίδια τεταγμένη ,
στα οποία οι αγόμενες εφαπτόμενες να είναι παράλληλες πρέπει και αρκεί να υπάρχουν
με που
και λόγω
να είναι
που προκύπτει η προηγούμενη περίπτωση. Άρα το ζητούμενο ισχύει μόνο για την κοινή εφαπτομένη τους.
Φιλικά και Μαθηματικά
Βασίλης
f ανοιγοντας τους δρομους της Μαθηματικης σκεψης, f' παραγωγος επιτυχιας
Τα Μαθηματικά είναι απλά...όταν σκέπτεσαι σωστά...
Τα Μαθηματικά είναι αυτά...για να δεις πιό μακρυά...
Τα Μαθηματικά είναι μαγεία...όταν έχεις φαντασία...
Τα Μαθηματικά είναι απλά...όταν σκέπτεσαι σωστά...
Τα Μαθηματικά είναι αυτά...για να δεις πιό μακρυά...
Τα Μαθηματικά είναι μαγεία...όταν έχεις φαντασία...
-
- Δημοσιεύσεις: 3600
- Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
- Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ
Re: Εφαπτόμενες
Μπορούμε τουλάχιστον το πρώτο να το δούμε γεωμετρικά.
Ο Θανάσης έχει κλέψει ένα κομμάτι του σχήματος.
Αν το είχε όλο θα βλέπαμε ότι είναι
με ισότητα μόνο για
Αυτό βγαίνει εύκολα θεωρώντας την
με
Και οι δύο είναι κοίλες και η μία πάνω από την άλλη εκτός ενός σημείου που είναι ίσες.
Αν λοιπόν υπάρχει κοινή εφαπτομένη θα είναι σε αυτό το σημείο που είναι το
Πράγματι εκεί υπάρχει κοινή εφαπτομένη όπως βρήκε και ο Βασίλης παραπάνω.
-
- Δημοσιεύσεις: 360
- Εγγραφή: Δευ Ιουν 18, 2012 1:51 pm
Re: Εφαπτόμενες
Καλημέρα .
Μια προσπάθεια ...
β) Έστω η εφαπτομένη της , στο .
Ο συντελεστής διευθύνσεως της στο είναι .
Επίσης αν η εφαπτομένη της , στο .
Ο συντελεστής διευθύνσεως της στο είναι .
Τώρα θα πρέπει και
(1)
Διακρίνουμε τις εξής περιπτώσεις:
i) και απορρίπτεται διότι , συνεπώς .
ii) και .
Είναι (2)
Αντικαθιστώντας την (2) στην (1) έχουμε:
.
Θεωρούμε την συνάρτηση , παραγωγίσιμη στο με .
Ισχύει στο . Άρα η γνησίως φθίνουσα στο .
Επίσης . Άρα
Επιπλέον στο . Άρα η γνησίως αύξουσα στο .
Επίσης ,
αφού με την βοήθεια του κανόνα de l' Hospital προκύπτει .
Άρα
Στη συνέχεια αποδεικνύουμε ότι .
Θεωρώ την συνάρτηση , παραγωγίσιμη στο με .
Εύκολα με πινακάκι κλπ. αποδεικνύεται ότι η παρουσιάζει στο , ολικό μέγιστο το .
Επομένως .
Από τα παραπάνω συμπεραίνουμε ότι η έχει δύο ρίζες.
Η μία είναι η στο διάστημα και η άλλη είναι η στο διάστημα .
Συνεπώς και , δηλαδή έχουμε τα σημεία , όπως υπέδειξε ο KARKAR.
Αν τότε και , δηλαδή έχουμε το κοινό σημείο των δύο συναρτήσεων που βρήκε ο Βασίλης. Εδώ οι εφαπτομένες ταυτίζονται.
Ελπίζω να μην κούρασα και να μην ξέφυγε τίποτα...
Φιλικά
Σταμ. Γλάρος
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 5 επισκέπτες