Ανισότητα με εκθετικό και λογάριθμο.

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #1

Για $0\leq x\leq \frac{1}{4}$

Να δειχθεί ότι

$\ln (2-e^{x})+x+4x^{2}\geq 0$

Χρειάζεται στο
https://www.mathematica.gr/forum/viewto ... =9&t=61566

#2

Σταύρο, καλησπέρα. Μία απόπειρα.

Η ανισότητα είναι ισοδύναμη με $\displaystyle{e^{x+4x^2}(2-e^x)\geq 1.}$
Θεωρούμε $f(x)=e^{x+4x^2}(2-e^x)$ . Τότε $f'(x)=e^{x + 4 x^2} (2 - 2 e^x + (16 - 8 e^x) x).$

Για να δείξουμε ότι αυτή είναι θετική αρκεί να δείξουμε ότι $e^x\leq\frac{1+8x}{1+4x}.$
Όμως από την κυρτότητα έχουμε ότι $e^x\leq 2x+1$ στο $0\x\leq\frac{1}{4}$ .
Επομένως αρκεί να αποδείξουμε ότι $2x+1\leq \frac{1+8x}{1+4x}$ που ισχύει, αφού είναι ισοδύναμη με το $x\leq\frac{1}{4}$ .

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #3

silouan έγραψε: ↑
Πέμ Απρ 19, 2018 2:53 pm
Σταύρο, καλησπέρα. Μία απόπειρα.

Η ανισότητα είναι ισοδύναμη με $\displaystyle{e^{x+4x^2}(2-e^x)\geq 1.}$
Θεωρούμε $f(x)=e^{x+4x^2}(2-e^x)$ . Τότε $f'(x)=e^{x + 4 x^2} (2 - 2 e^x + (16 - 8 e^x) x).$

Για να δείξουμε ότι αυτή είναι θετική αρκεί να δείξουμε ότι $e^x\leq\frac{1+8x}{1+4x}.$
Όμως από την κυρτότητα έχουμε ότι $e^x\leq 2x+1$ στο $0\x\leq\frac{1}{4}$ .
Επομένως αρκεί να αποδείξουμε ότι $2x+1\leq \frac{1+8x}{1+4x}$ που ισχύει, αφού είναι ισοδύναμη με το $x\leq\frac{1}{4}$ .

Σωστά.

Υπάρχει και πιο ''φυσιολογική'' λύση.

#4

Το διάστημα ισχύος της ανισότητας μπορεί να διπλασιαστεί. Πράγματι, θεωρώντας την f(x)=ln(2-e^x)+x+4x^2

, παρατηρούμε ότι αρκεί, λόγω της f(0)=0

, να αποδειχθεί η f'(x)>0

για $0<x<\dfrac{1}{2}$ . Η ανισότητα f'(x)>0

είναι ισοδύναμη, για $0<x<\dfrac{1}{2}$ (διάστημα στο οποίο σίγουρα ισχύει η e^x<2

), προς την 1-e^x+8x-4xe^x>0

. Θέτοντας g(x)=1-e^x+8x-4xe^x

παρατηρούμε, λόγω της g(0)=0

και της

, ότι για να ισχύει η g(x)>0

για $0<x<\dfrac{1}{2}$ αρκεί να ισχύει η $g\left(\dfrac{1}{2}\right)>0$ . Η τελευταία ανισότητα είναι ισοδύναμη προς την $\sqrt{e}<\dfrac{5}{3}$ , που προκύπτει εύκολα αν θεωρηθεί γνωστή η $e<\dfrac{11}{4}$ , καθώς ισχύει η $\dfrac{25}{9}>\dfrac{11}{4}$ .

Ανισότητα με εκθετικό και λογάριθμο.

Ανισότητα με εκθετικό και λογάριθμο.

Re: Ανισότητα με εκθετικό και λογάριθμο.

Re: Ανισότητα με εκθετικό και λογάριθμο.

Re: Ανισότητα με εκθετικό και λογάριθμο.

Μέλη σε σύνδεση