Ύπαρξη ξ

Συντονιστής: KAKABASBASILEIOS

Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 3913
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη , Παρίσι
Επικοινωνία:

Ύπαρξη ξ

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Tolaso J Kos » Πέμ Μαρ 15, 2018 2:54 pm

Η πραγματική συνάρτηση f έχει \nu+1 παραγώγους σε κάθε σημείο του \mathbb{R}. Δείξατε ότι για κάθε ζευγάρι πραγματικών αριθμών \alpha, \beta με \alpha<\beta και

\displaystyle{\ln \left ( \frac{f \left ( \beta \right ) + f'\left ( \beta \right ) + \cdots + f^{(\nu)}\left ( \beta \right )}{f\left ( \alpha \right )+ f'\left ( \alpha \right )+\cdots+ f^{(\nu)}\left ( \alpha \right )} \right ) = \beta - \alpha}
υπάρχει \xi \in (\alpha, \beta) τέτοιο ώστε f^{(\nu+1)}(\xi)= f(\xi).


Edit: Δημήτρη ( dement ) ευχαριστώ για το σκούντηγμα.


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}

Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
grigkost
Διαχειριστής
Δημοσιεύσεις: 2781
Εγγραφή: Πέμ Δεκ 18, 2008 12:54 pm
Τοποθεσία: Ιωάννινα

Re: Ύπαρξη ξ

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από grigkost » Πέμ Μαρ 15, 2018 7:17 pm

Είναι -μάλλον- θέμα του 1ου IMC και πρέπει να έχει συζητηθεί παλιότερα στο mathematica.gr. Μια τυπική λύση:

Για την \nu+1-φορές παραγωγίσιμη συνάρτηση f:\mathbb{R}\longrightarrow\mathbb{R}, έστωσαν \alpha,\beta\in\mathbb{R}, \alpha<\beta, για τους οποίους ισχύει:

\begin{aligned} 
&\ln\left({{f(\beta)+f'(\beta)+\ldots+f^{(\nu-1)}(\beta)+f^{(\nu)}(\beta)}\over{f(\alpha)+f'(\alpha)+\ldots+f^{(\nu-1)}(\alpha)+f^{(\nu)}(\alpha)}}\right)=\beta-\alpha\quad\Rightarrow\\\noalign{\vspace{0.2cm}} 
&\ln\left({f(\beta)+f'(\beta)+\ldots+f^{(\nu-1)}(\beta)+f^{(\nu)}(\beta)}\right)-\beta\\ 
&\hspace{2.0cm}=	{\ln\left({f(\alpha)+f'(\alpha)+\ldots+f^{(\nu-1)}(\alpha)+f^{(\nu)}(\alpha)}\right)-\alpha}  
\quad(1) 
\end{aligned}

Η συνάρτηση g(x)=\ln\left({f(x)+f'(x)+\ldots+f^{(\nu-1)}(x)+f^{(\nu)}(x)}\right)-x, x\in\mathbb{R}, είναι παραγωγίσιμη στο διάστημα \left[{\alpha,\beta}\right] με παράγωγο

\begin{aligned} 
g^{\prime}(x)&=\displaystyle{{\left({f(x)+f'(x)+\ldots+f^{(\nu-1)}(x)+f^{(\nu)}(x)}\right)^{\prime}}\over{f(x)+f'(x)+\ldots+f^{(\nu-1)}(x)+f^{(\nu)}(x)}}-\left({x}\right)^{\prime}\\\noalign{\vspace{0.2cm}} 
&=\displaystyle{{f'(x)+f''(x)+\ldots+f^{(\nu)}(x)+f^{(\nu+1)}(x)}\over{f(x)+f'(x)+\ldots+f^{(\nu-1)}(x)+f^{(\nu)}(x)}}-1 
\end{aligned}

και ισχύει

\begin{aligned} 
 g(\beta)&=\ln\left({f(\beta)+f'(\beta)+\ldots+f^{(\nu-1)}(\beta)+f^{(\nu)}(\beta)}\right)-\beta\\ 
 &{\stackrel{(1)}{=}}\ln\left({f(\alpha)+f'(\alpha)+\ldots+f^{(\nu-1)}(\alpha)+f^{(\nu)}(\alpha)}\right)-\alpha\\ 
 &=g(\alpha) 
 \end{aligned}

Επομένως, από το θεώρημα Rolle, προκύπτει ότι υπάρχει \xi\in\left({\alpha,\beta}\right), τέτοιος ώστε να ισχύει:

 \begin{aligned} 
 g^{\prime}(\xi)=0\quad&\Rightarrow\\\noalign{\vspace{0.2cm}} 
 \displaystyle{{f'(\xi)+f''(\xi)+\ldots+f^{(\nu)}(\xi)+f^{(\nu+1)}(\xi)}\over{f(\xi)+f'(\xi)+\ldots+f^{(\nu-1)}(\xi)+f^{(\nu)}(\xi)}}-1=0\quad&\Rightarrow\\\noalign{\vspace{0.2cm}} 
 f'(\xi)+f''(\xi)+\ldots+f^{(\nu)}(\xi)+f^{(\nu+1)}(\xi)=f(\xi)+f'(\xi)+\ldots+f^{(\nu-1)}(\xi)+f^{(\nu)}(\xi)\quad&\Rightarrow\\\noalign{\vspace{0.2cm}} 
 f^{(\nu+1)}\left({\xi}\right)=f\left({\xi}\right)\,.& 
 \end{aligned}


{\color{dred}\Gamma\!\rho\,{\rm{H}}\gamma\varnothing\varrho{\mathscr{H}}\varsigma \ {\mathbb{K}}\,\Omega\sum{\rm{t}}{\mathscr{A}}\,{\mathbb{K}}\!\odot\varsigma
Άβαταρ μέλους
grigkost
Διαχειριστής
Δημοσιεύσεις: 2781
Εγγραφή: Πέμ Δεκ 18, 2008 12:54 pm
Τοποθεσία: Ιωάννινα

Re: Ύπαρξη ξ

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από grigkost » Παρ Μαρ 16, 2018 3:06 pm

Δεν γνωρίζω γιατί διεγράφη η παρατήρηση ότι στην συνάρτηση g(x)=\ln\left({\sum_{k=0}^{n}f^{(k)}(x)}\right)-x υπάρχει θέμα με το πρόσημο του \sum_{k=0}^{n}f^{(k)}(x) που πρέπει να είναι θετικό. Ίσως αντιμετωπίζεται, μιας και σε διαστήματα μπορούμε να εξασφαλίσουμε ότι \sum_{k=0}^{n}f^{(k)}(x)>0, αλλά μια λύση που αντιμετωπίζει επαρκώς το πιθανό πρόβλημα είναι η εξής:

\begin{aligned} 
\ln\left(\frac{\sum_{k=0}^{n}f^{(k)}(\beta)}{\sum_{k=0}^{n}f^{(k)}(\alpha)}\right)=\beta-\alpha\quad&\Rightarrow\\\noalign{\vspace{0.2cm}} 
\frac{\sum_{k=0}^{n}f^{(k)}(\beta)}{\sum_{k=0}^{n}f^{(k)}(\alpha)}={\rm{e}}^{\beta-\alpha}\quad&\Rightarrow\\\noalign{\vspace{0.2cm}} 
{\rm{e}}^{-\beta}\sum_{k=0}^{n}f^{(k)}(\beta)={\rm{e}}^{-\alpha}\sum_{k=0}^{n}f^{(k)}(\alpha)\,.\quad& 
\end{aligned}
Η συνάρτηση g(x)={\rm{e}}^{-x}\sum_{k=0}^{n}f^{(k)}(x)\,, \; x\in\mathbb{R}\,, πληρεί τις συνθήκες του θεωρήματος Rolle και, επομένως, υπάρχει \xi\in(\alpha,\beta), έτσι ώστε

\begin{aligned} 
g'(\xi)=0\quad&\Longrightarrow\\\noalign{\vspace{0.1cm}} 
-{\rm{e}}^{-\xi}\sum_{k=0}^{n}f^{(k)}(\xi)+{\rm{e}}^{-\xi}\sum_{k=1}^{n+1}f^{(k)}(\xi)=0\quad&\Longrightarrow\\\noalign{\vspace{0.2cm}} 
{\rm{e}}^{-\xi}\,\big(f^{(n+1)}(\xi)-f(\xi)\big)=0\quad&\stackrel{{\rm{e}}^{-\xi}\neq0}{=\!=\!\Longrightarrow}\\\noalign{\vspace{0.1cm}} 
f^{(n+1)}(\xi)=f(\xi)\,.\quad& 
\end{aligned}


{\color{dred}\Gamma\!\rho\,{\rm{H}}\gamma\varnothing\varrho{\mathscr{H}}\varsigma \ {\mathbb{K}}\,\Omega\sum{\rm{t}}{\mathscr{A}}\,{\mathbb{K}}\!\odot\varsigma
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης