Αν ο ρυθμός μεταβολής της τετμημένης του σημείου Μ δίνεται από τη σχέση
να βρείτε το ρυθμό μεταβολής της γωνίας θ που σχηματίζει η εφαπτομένη της 
στο σημείο Μ με τον άξονα χ΄χ τη χρονική στιγμή που η τετμημένη του Μ είναι ίση με 2.ΡΥΘΜΟΣ ΜΕΤΑΒΟΛΗΣ ΓΩΝΙΑΣ
Συντονιστής: KAKABASBASILEIOS
ΡΥΘΜΟΣ ΜΕΤΑΒΟΛΗΣ ΓΩΝΙΑΣ
Ένα υλικό σημείο Μ κινείται κατά μήκος της καμπύλης
Αν ο ρυθμός μεταβολής της τετμημένης του σημείου Μ δίνεται από τη σχέση να βρείτε το ρυθμό μεταβολής της γωνίας θ που σχηματίζει η εφαπτομένη της στο σημείο Μ με τον άξονα χ΄χ τη χρονική στιγμή που η τετμημένη του Μ είναι ίση με 2.
Αν ο ρυθμός μεταβολής της τετμημένης του σημείου Μ δίνεται από τη σχέση
να βρείτε το ρυθμό μεταβολής της γωνίας θ που σχηματίζει η εφαπτομένη της στο σημείο Μ με τον άξονα χ΄χ τη χρονική στιγμή που η τετμημένη του Μ είναι ίση με 2.ΠΑΥΛΟΣ
Λέξεις Κλειδιά:
-
Christos.N
- Δημοσιεύσεις: 2105
- Εγγραφή: Πέμ Νοέμ 26, 2009 2:28 pm
- Τοποθεσία: Ίλιον
Re: ΡΥΘΜΟΣ ΜΕΤΑΒΟΛΗΣ ΓΩΝΙΑΣ
Τα παρακάτω έχουν ένα πολύ ενδιαφέρων λάθος
![\displaystyle \begin{gathered}
\tan \vartheta (x) = f'\left( x \right) = \frac{{df}}{{dx}}\mathop {\mathop \Rightarrow \limits_{\vartheta \left( t \right): = \vartheta \left( {a\left( t \right)} \right)} }\limits^\substack{ x = a\left( t \right) \\ f\left( t \right): = f\left( {a\left( t \right)} \right) } \tan \vartheta \left( t \right) = \frac{{df}}{{dt}} \Rightarrow \tan \vartheta \left( t \right) = \frac{{df}}{{dx}}\frac{{dx}}{{dt}} \hfill \\
\\
\left\{ {\varepsilon \nu \alpha \lambda \lambda \alpha \kappa \tau \iota \kappa\alpha' {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} \tan \vartheta (x) = f'\left( x \right)\mathop {\mathop \Rightarrow \limits_{\vartheta \left( t \right): = \vartheta \left( {a\left( t \right)} \right)} }\limits^\substack{ x = a\left( t \right) \\ f\left( t \right): = f\left( {a\left( t \right)} \right) } \tan \vartheta \left( t \right) = \left[ {f\left( {a\left( t \right)} \right)} \right]'} \right\}\\
\\
\tan \vartheta \left( t \right) = a'\left( t \right)f'\left( {a\left( t \right)} \right) \Rightarrow \frac{1}{{{{\cos }^2}\vartheta \left( t \right)}}\vartheta '\left( t \right) = a''\left( t \right)f'\left( {a\left( t \right)} \right) + a'{\left( t \right)^2}f''\left( {a\left( t \right)} \right)\mathop {\mathop \Rightarrow \limits_\begin{subarray}{l}
f'\left( x \right) = - {x^4} \Rightarrow f''\left( x \right) = - 4{x^3} \\
{\cos ^2}\vartheta = \frac{1}{{1 + {{\tan }^2}\vartheta }} \Rightarrow \frac{1}{{{{\cos }^2}\vartheta }} = 1 + {\tan ^2}\vartheta
\end{subarray} }\limits^{a''\left( t \right) = 2a'\left( t \right) = 4a\left( t \right)} \hfill \\
\left( {1 + {{\tan }^2}\vartheta \left( t \right)} \right)\vartheta '\left( t \right) = 4a\left( t \right)\left( {f'\left( {a\left( t \right)} \right) + a\left( t \right)f''\left( {a\left( t \right)} \right)} \right) \Rightarrow \hfill \\
\left( {1 + {{\left[ {a'\left( t \right)f'\left( {a\left( t \right)} \right)} \right]}^2}} \right)\vartheta '\left( t \right) = 4a\left( t \right)\left( {f'\left( {a\left( t \right)} \right) + 2f''\left( {a\left( t \right)} \right)} \right)\mathop \Rightarrow \limits^{t = {t_0}:a\left( {{t_0}} \right) = 2} \hfill \\
\left( {1 + {{\left( { - 64} \right)}^2}} \right)\vartheta '\left( {{t_0}} \right) = 8\left( { - 16 - 64} \right) \Rightarrow \vartheta '\left( {{t_0}} \right) = - \frac{{640}}{{4097}} \hfill \\
\end{gathered}](/forum/ext/geomar/texintegr/latexrender/pictures/17596d5bee508199f7308f11afba5350.png "\displaystyle \begin{gathered}
\tan \vartheta (x) = f'\left( x \right) = \frac{{df}}{{dx}}\mathop {\mathop \Rightarrow \limits_{\vartheta \left( t \right): = \vartheta \left( {a\left( t \right)} \right)} }\limits^\substack{ x = a\left( t \right) \\ f\left( t \right): = f\left( {a\left( t \right)} \right) } \tan \vartheta \left( t \right) = \frac{{df}}{{dt}} \Rightarrow \tan \vartheta \left( t \right) = \frac{{df}}{{dx}}\frac{{dx}}{{dt}} \hfill \\
\\
\left\{ {\varepsilon \nu \alpha \lambda \lambda \alpha \kappa \tau \iota \kappa\alpha' {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} \tan \vartheta (x) = f'\left( x \right)\mathop {\mathop \Rightarrow \limits_{\vartheta \left( t \right): = \vartheta \left( {a\left( t \right)} \right)} }\limits^\substack{ x = a\left( t \right) \\ f\left( t \right): = f\left( {a\left( t \right)} \right) } \tan \vartheta \left( t \right) = \left[ {f\left( {a\left( t \right)} \right)} \right]'} \right\}\\
\\
\tan \vartheta \left( t \right) = a'\left( t \right)f'\left( {a\left( t \right)} \right) \Rightarrow \frac{1}{{{{\cos }^2}\vartheta \left( t \right)}}\vartheta '\left( t \right) = a''\left( t \right)f'\left( {a\left( t \right)} \right) + a'{\left( t \right)^2}f''\left( {a\left( t \right)} \right)\mathop {\mathop \Rightarrow \limits_\begin{subarray}{l}
f'\left( x \right) = - {x^4} \Rightarrow f''\left( x \right) = - 4{x^3} \\
{\cos ^2}\vartheta = \frac{1}{{1 + {{\tan }^2}\vartheta }} \Rightarrow \frac{1}{{{{\cos }^2}\vartheta }} = 1 + {\tan ^2}\vartheta
\end{subarray} }\limits^{a''\left( t \right) = 2a'\left( t \right) = 4a\left( t \right)} \hfill \\
\left( {1 + {{\tan }^2}\vartheta \left( t \right)} \right)\vartheta '\left( t \right) = 4a\left( t \right)\left( {f'\left( {a\left( t \right)} \right) + a\left( t \right)f''\left( {a\left( t \right)} \right)} \right) \Rightarrow \hfill \\
\left( {1 + {{\left[ {a'\left( t \right)f'\left( {a\left( t \right)} \right)} \right]}^2}} \right)\vartheta '\left( t \right) = 4a\left( t \right)\left( {f'\left( {a\left( t \right)} \right) + 2f''\left( {a\left( t \right)} \right)} \right)\mathop \Rightarrow \limits^{t = {t_0}:a\left( {{t_0}} \right) = 2} \hfill \\
\left( {1 + {{\left( { - 64} \right)}^2}} \right)\vartheta '\left( {{t_0}} \right) = 8\left( { - 16 - 64} \right) \Rightarrow \vartheta '\left( {{t_0}} \right) = - \frac{{640}}{{4097}} \hfill \\
\end{gathered}")
τελευταία επεξεργασία από Christos.N σε Δευ Ιαν 08, 2018 12:02 am, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.
Χρήστος Ντάβας
Wir müssen wissen — wir werden wissen! D.Hilbert
Wir müssen wissen — wir werden wissen! D.Hilbert
-
Christos.N
- Δημοσιεύσεις: 2105
- Εγγραφή: Πέμ Νοέμ 26, 2009 2:28 pm
- Τοποθεσία: Ίλιον
Re: ΡΥΘΜΟΣ ΜΕΤΑΒΟΛΗΣ ΓΩΝΙΑΣ
Να είσαι καλά, παρεμφερές Παύλο με αυτό που πρότεινες βρίσκεται και εδώ.
Χρήστος Ντάβας
Wir müssen wissen — wir werden wissen! D.Hilbert
Wir müssen wissen — wir werden wissen! D.Hilbert
-
Christos.N
- Δημοσιεύσεις: 2105
- Εγγραφή: Πέμ Νοέμ 26, 2009 2:28 pm
- Τοποθεσία: Ίλιον
Re: ΡΥΘΜΟΣ ΜΕΤΑΒΟΛΗΣ ΓΩΝΙΑΣ
Διόρθωση στην παραπάνω δημοσίευση μου,μετά απο την πολύ ωραία συζήτηση που είχαμε με τον Παύλο, τον οποίο και ευχαριστώ πολύ.
![\displaystyle \begin{gathered}
\tan \vartheta (x) = f'\left( x \right) = \frac{{df}}{{dx}}\mathop {\mathop \Rightarrow \limits_{\vartheta \left( t \right): = \vartheta \left( {a\left( t \right)} \right)} }\limits^\substack{ x = a\left( t \right) \\ f\left( t \right): = f\left( {a\left( t \right)} \right) } \tan \vartheta \left( t \right) = {\left. {\frac{{df}}{{dx}}} \right|_{x = a\left( t \right)}} \Rightarrow \tan \vartheta \left( t \right) = f'\left( {a\left( t \right)} \right) \hfill \\
\Rightarrow \frac{{d\left( {\tan \vartheta \left( t \right)} \right)}}{{dt}} = \frac{{d\left( {f'\left( {a\left( t \right)} \right)} \right)}}{{dt}} \Rightarrow \frac{1}{{{{\cos }^2}\left( {\vartheta \left( t \right)} \right)}}\vartheta '\left( t \right) = f''\left( {a\left( t \right)} \right)a'\left( t \right) \Rightarrow \vartheta '\left( t \right) = {\cos ^2}\left( {\vartheta \left( t \right)} \right)f''\left( {a\left( t \right)} \right)a'\left( t \right) \hfill \\
\mathop \Rightarrow \limits^{{{\cos }^2}\left( {\vartheta \left( t \right)} \right) = \frac{1}{{1 + {{\tan }^2}\left( {\vartheta \left( t \right)} \right)}} = \frac{1}{{1 + {{\left[ {f'\left( {a\left( t \right)} \right)} \right]}^2}}}} \vartheta '\left( t \right) = \frac{1}{{1 + {{\left[ {f'\left( {a\left( t \right)} \right)} \right]}^2}}}f''\left( {a\left( t \right)} \right)a'\left( t \right)\mathop {\mathop \Rightarrow \limits^{\left. \begin{subarray}{l}
f'\left( x \right) = - {x^4} \\
f''\left( x \right) = - 4{x^3}
\end{subarray} \right\}\mathop \Rightarrow \limits^{x = a\left( t \right)} \left\{ \begin{subarray}{l}
f'\left( {a\left( t \right)} \right) = - {a^4}\left( t \right) \\
f''\left( x \right) = - 4{a^3}\left( t \right)
\end{subarray} \right.} }\limits_{a'\left( t \right) = 2a\left( t \right)} \vartheta '\left( t \right) = \frac{{ - 8{a^4}\left( t \right)}}{{1 + {a^8}\left( t \right)}} \hfill \\
\mathop \Rightarrow \limits^{a\left( {{t_0}} \right) = 2} \vartheta '\left( {{t_0}} \right) = - \frac{{128}}{{257}} \hfill \\
\end{gathered}](/forum/ext/geomar/texintegr/latexrender/pictures/1e36995e18653dc995cf1e92e70dbede.png "\displaystyle \begin{gathered}
\tan \vartheta (x) = f'\left( x \right) = \frac{{df}}{{dx}}\mathop {\mathop \Rightarrow \limits_{\vartheta \left( t \right): = \vartheta \left( {a\left( t \right)} \right)} }\limits^\substack{ x = a\left( t \right) \\ f\left( t \right): = f\left( {a\left( t \right)} \right) } \tan \vartheta \left( t \right) = {\left. {\frac{{df}}{{dx}}} \right|_{x = a\left( t \right)}} \Rightarrow \tan \vartheta \left( t \right) = f'\left( {a\left( t \right)} \right) \hfill \\
\Rightarrow \frac{{d\left( {\tan \vartheta \left( t \right)} \right)}}{{dt}} = \frac{{d\left( {f'\left( {a\left( t \right)} \right)} \right)}}{{dt}} \Rightarrow \frac{1}{{{{\cos }^2}\left( {\vartheta \left( t \right)} \right)}}\vartheta '\left( t \right) = f''\left( {a\left( t \right)} \right)a'\left( t \right) \Rightarrow \vartheta '\left( t \right) = {\cos ^2}\left( {\vartheta \left( t \right)} \right)f''\left( {a\left( t \right)} \right)a'\left( t \right) \hfill \\
\mathop \Rightarrow \limits^{{{\cos }^2}\left( {\vartheta \left( t \right)} \right) = \frac{1}{{1 + {{\tan }^2}\left( {\vartheta \left( t \right)} \right)}} = \frac{1}{{1 + {{\left[ {f'\left( {a\left( t \right)} \right)} \right]}^2}}}} \vartheta '\left( t \right) = \frac{1}{{1 + {{\left[ {f'\left( {a\left( t \right)} \right)} \right]}^2}}}f''\left( {a\left( t \right)} \right)a'\left( t \right)\mathop {\mathop \Rightarrow \limits^{\left. \begin{subarray}{l}
f'\left( x \right) = - {x^4} \\
f''\left( x \right) = - 4{x^3}
\end{subarray} \right\}\mathop \Rightarrow \limits^{x = a\left( t \right)} \left\{ \begin{subarray}{l}
f'\left( {a\left( t \right)} \right) = - {a^4}\left( t \right) \\
f''\left( x \right) = - 4{a^3}\left( t \right)
\end{subarray} \right.} }\limits_{a'\left( t \right) = 2a\left( t \right)} \vartheta '\left( t \right) = \frac{{ - 8{a^4}\left( t \right)}}{{1 + {a^8}\left( t \right)}} \hfill \\
\mathop \Rightarrow \limits^{a\left( {{t_0}} \right) = 2} \vartheta '\left( {{t_0}} \right) = - \frac{{128}}{{257}} \hfill \\
\end{gathered}")
Χρήστος Ντάβας
Wir müssen wissen — wir werden wissen! D.Hilbert
Wir müssen wissen — wir werden wissen! D.Hilbert
Re: ΡΥΘΜΟΣ ΜΕΤΑΒΟΛΗΣ ΓΩΝΙΑΣ
Για να δώσουμε και μια λύση πιο προσιτή στις μεθοδολογίες που συναντούν οι μαθητές, χρήσιμο είναι να πούμε ότι το συνημιτόνο της γωνίας , μπορούν να το βρούν αν βρούν το σημείο τομής της εφαπτόμενης με τον άξονα 
, και υπολογίσουν στη συνέχεια τις πλευρές του ορθογωνίου τριγώνου που σχηματίζεται
Αν ακολουθήσουν αυτή την προσέγγιση στη λύση τους, θα βρουν ότι
, και υπολογίσουν στη συνέχεια τις πλευρές του ορθογωνίου τριγώνου που σχηματίζεταιΑν ακολουθήσουν αυτή την προσέγγιση στη λύση τους, θα βρουν ότι
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 4 επισκέπτες